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cohérente pour la calcul de la corrélation implicite. Les tranches supérieures à equity, avec des points d’attachement [K1, K2], sont alors exprimées comme une différence entre deux tranche equity avec des points d’attachements [0, K2] et [0, K1] et des corrélations de base respectives ρ2 K2 et ρ2 . En effectuant quelques manipulations K1 mathématiques (voir [52]), il est possible d’exprimer les pertes pour une tranche [K1, K2] de l’équation 3.135 par : L (K1,K2) t = = = = 1 K2 − K1 1 K2 − K1 1 K2 − K1 1 K2 − K1 et l’espérance des pertes par : E[L (K1,K2) t ] = 1 K2 − K1 83 [max[(Lt − K1), 0] − max[(Lt − K2, 0)]] (5.2) [− min[(K1 − Lt), 0] + min[(K2 − Lt, 0)]] (5.3) [− min[K1, Lt] + Lt + min[K2, Lt] − Lt] (5.4) [K2 ∗ L (K2,0) t − K1 ∗ L (K1,0) t ], (5.5) [K2 ∗ E[L (K2,0) t ] − K1 ∗ E[L (K1,0) t ]]. (5.6) Ainsi, de façon itérative et connaissant comme point de départ la corrélation implicite sur la tranche equity [0,3%], il est possible de calculer la corrélation de base pour chacune des tranches equity fictives suivantes : [0,6%], [0,9%], [0,12%] et [0,22%] ; la seule inconnue pour chaque itération étant la corrélation implicite pour la tranche equity fictive ciblée. Voici les étapes en utilisant l’expression développée en 5.6 : 1. Calculer implicitement la corrélation ρ 2 K=3% de base pour la tranche equity [0, 3%] à partir du prix observé sur le marché. Cette corrélation est la même que celle de la corrélation implicite ρ2 K=0−3% évaluée à la section précédente ; 2. Calculer implicitement la valeur de la corrélation de base ρ 2 K=6% de la tranche equity [0,6%] à partir du prix observé sur la tranche [3-6%] et de la valeur de la corrélation de base pour la tranche equity [0-3%] calculée en 1) ; 3. Calculer implicitement la valeur de la corrélation de base ρ 2 K=9% de la tranche equity [0,9%] à partir du prix observé sur la tranche [6-9%] et de la valeur de la corrélation de base pour la tranche equity [0-6%] calculée en 2) ;
4. Répéter l’étape 3, de façon similaire, pour les tranches equity fictives [0-12%] et [0-22%]. Le graphique 5.9 illustre la corrélation de base pour les mêmes données du tableau 5.7. 85,00% 75,00% 65,00% 55,00% 45,00% 35,00% 25,00% Corrélation de base, iTraxx Eur. 0-3% 3-6% 6-9% 9-12% 12-22% 5 ans 2007-10-15 5 ans 2008-03-17 5 ans 2008-06-16 7 ans 2007-10-15 7 ans 2008-03-17 7 ans 2008-06-16 10 ans 2007-10-15 10 ans 2008-03-17 10 ans 2008-06-16 Fig. 5.9: Corrélation de base pour les échéances 5-7 et 10 ans. Un point important à soulever est que cette corrélation de base est simplement une façon plus pratique de décrire les corrélations et ne corrige en rien l’incapacité du modèle à un facteur gaussien standard à capturer la structure de dépendance induite par les prix sur le marché. L’alternative est plutôt la sélection d’un autre modèle à un ou plusieurs facteurs. La section suivante présente les résultats comparatifs obtenus pour les différents modèles alternatifs étudiés. 5.0.4 Comparaison des modèles à un facteur Les modèles à un facteur sélectionnés pour la comparaison sont : gaussien, gaussien stochastique, NIG, NIG stochastique, Student-t (deux facteurs), Clayton, Gumble et Marshall-Olkin (MO). Les modèles ont été calibrés sur la tranche equity tout en minimisant l’erreur sur les autres tranches ; aucun méthode d’optimisation n’a toutefois été utilisée. Deux types d’erreurs ont été calculées : une erreur en points de 84
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stochastique, NIG (Normal Inverse G
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CDO en deux grands groupes en fonct
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5. Réduire la concentration de ris
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Une autre problème pouvant être r
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Queue épaisse Pertes Fig. 2.7: Dis
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crédit sur portefeuille tels que l
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Pour valoriser un CDO synthétique,
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Chapitre 3 Valorisation générale
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