HEC MONTRÉAL

4.2.4 Simulation des instants de défauts : modèle à un facteur
Clayton et Gumbel
En définissant le seuil de déclenchement stochastique par Ui = 1 − Xi, les temps
de défaut sont alors donnés selon
où Xi = ϕ−1 (− ln(Vi ) est défini selon l’équation 3.76.
V
62
τi = F −1
i (Xi), i ∈ {1, ..., n}, (4.4)
Échantillonnage à partir d’une copule de Clayton
Voici la procédure pour générer des échantillons aléatoires à partir de la copule
C Clayton de paramètre θ > 0 et de dimension n.
1. Générer une v.a. γ ∼ Gamma (1/θ) ;
2. Générer n variables indépendantes uniformes tel que ui ∼ U[0, 1] ;
3. Calculer les xi = ϕ −1 (− ln(ui)
γ ), tel que ϕ −1 (s) = (1 + s) −1/θ ;
4. Poser ui = xi puisque les Xi sont des v.a. de distribution uniforme.
Un vecteur u = (u1, ..., un) ∼ C Clayton est alors généré.
Échantillonnage à partir d’une copule de Gumbel
Voici la procédure pour générer des échantillons aléatoires à partir de la copule
C Gumble de paramètre θ > 1 et de dimension n.
1. Générer une v.a. γ ∼ Stable standard de paramètre α = 1/θ ;
2. Générer n variables indépendantes uniformes tel que ui ∼ U[0, 1] ;
3. Calculer les xi = ϕ −1 (− ln(ui)
γ ), tel que ϕ −1 (t) = exp(−t 1
θ ) ;
4. Poser ui = xi puisque les Xi sont des v.a. de distribution uniforme.
Un vecteur u = (u1, ..., un) ∼ C Gumble est alors généré.
Une procédure commune utilisée pour générer un échantillon aléatoire de loi Stable
standard de paramètre α est la suivante (voir comme référence [43]) :