HEC MONTRÉAL

où F cds
i (t) est la fonction de survie individuelle obtenue à partir des prix observés sur
le marché des CDS liés au portefeuille. Il est toutefois important de noter que bien
que les v.a. Xi suivent une distribution NIG, le vecteur (X1, ...Xn) n’est pas distribué
selon une distribution NIG.
Modèle à un facteur archimédien
Ce modèle suppose que V , le risque commun à tous les n crédits du portefeuille, est
une v.a. aléatoire mixte positive (positive mixing variable), et Vi, le risque spécifique
à chaque crédit, est une variable de distribution uniforme sur le segment [0, 1]. Les
v.a. Vi, ..., Vn et V sont indépendantes. Les Xi sont définis selon
44
Xi = ϕ −1 (− ln(Vi)
), (3.75)
V
où ϕ −1 (s) correspond à la fonction génératrice inverse pour une copule Archimédienne.
Les temps de défaut individuels sont également liés aux Xi par
où S est la fonction de survie définie à l’équation 3.26.
τi = S −1
i (Xi), (3.76)
De plus, conditionellement au facteur commun V , Xi peut être interprété comme
la probabilité de défaut individuelle du crédit i suivant une distribution uniforme sur
le segment [0, 1]. La probabilité de survie, conditionnellement au facteur commun V ,
s’exprime alors selon
De plus, puisque Vi est uniforme sur [0, 1] alors
q i|V
t = Q(Xi ≤ Si(t)|V ) (3.77)
= Q(ϕ −1 (− ln(Vi)
V ≤ Si(t))) (3.78)
= Q(Vi ≤ exp(−V ϕ(Si(t)))). (3.79)
q i|V
t = exp(−V ϕ(Si(t))). (3.80)
Dans le cas particulier d’une copule de Clayton, la fonction génératrice est donnée
par
ϕClayton(t) = t −θ − 1, θ > 0, (3.81)