HEC MONTRÉAL

probabilité de survie conditionnelle au facteur commun V s’exprime alors selon
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q i|V
t = Q(V > t)Q(Vi > t) (3.86)
= 1V >tE[1Vi>t] (3.87)
= 1V >− ln(Si(t))Si(t) 1−λ
où Si(t) = exp(−t) représente la fonction de survie individuelle.
Modèle à un facteur gaussien avec extension aléatoire de la corrélation
(3.88)
Andersen et Sidenius [2] présentent une extension aléatoire de la corrélation pour
le modèle à un facteur gaussien, permettant de générer une distribution des pertes
à queue épaisse. Cette extension est en effet élégamment introduite par la présence
d’un paramètre aléatoire offrant la possibilité d’ajuster la corrélation entre les crédits
du portefeuille en fonction de l’état de l’économie. En effet, dans le cas du modèle
classique, cette corrélation est fixée constante sur l’ensemble des états de l’économie
qui représentée par le facteur commun de marché. Or, empiriquement, il est observé
que la corrélation entre les valeurs des titres est plus élevée dans un marché à la hausse
qu’un marché à la baisse. Ainsi, en interprétant par exemple un facteur commun de
marché ayant une valeur élevée comme un marché haussier (bull market), et un facteur
de marché ayant une valeur faible comme un marché baissier (bear market), il est
possible de lier une corrélation (constante pour tous les crédits du portefeuille) pour
chacun de ces deux états de l’économie. Formellement, soit (X1, ..., Xn) un vecteur
aléatoire tel que
Xi = a(V )V + νVi + κ, i = 1, ..., n (3.89)
où V est un facteur de marché commun à tous les crédits du portefeuille, Vi un facteur
spécifique au crédit i, a(V ) le paramètre aléatoire qui est fonction du facteur commun
de marché V et ν, κ des paramètres choisis tel que les Xi soient des v.a. N(0, 1).
Comme pour le modèle à un facteur gaussien, on suppose, comme hypothèses de
modélisation, que