HEC MONTRÉAL

Le seuil de défaut est donnée par
40
Ki(t) = Φ −1 cds
(F Xi i (t)), (3.53)
où Φ est une fonction de répartition gaussienne standard.
A partir du développement général pour la copule de défauts (voir équation 3.41),
la fonction de copule C gaussienne est alors définie comme
où ti = F −1
i (ui).
∞
C(u1, ..., un) = Q(X1 ≤ K1(t1), ..., XnKn(tn)|v)ϕ(v)dv, (3.54)
−∞
Étant donné l’indépendance conditionnelle entre les v.a. induite par le facteur
commun V gaussien,
Cs(u1, ..., un) =
=
=
=
∞
−∞ i=1
∞
−∞ i=1
∞
−∞ i=1
∞
n
Q(Xi ≤ Ki(ti)|v)ϕ(v)dv (3.55)
n
Q(ρiv +
n
n
−∞ i=1
1 − ρ 2 i Vi ≤ Ki(ti))|v)ϕ(v)dv (3.56)
Q(Vi ≤ Ki(ti) − ρiv
|v)ϕ(v)dv (3.57)
2 1 − ρi Φ( Ki(ti) − ρiv
)ϕ(v)dv. (3.58)
2 1 − ρi La fonction de répartition gaussienne multivariée est alors données par
avec
F (t1, ..., tn) = C(F1(t1), ..., Fn(tn)) (3.59)
∞ n
= (p i|v
ti )ϕ(v)dv. (3.60)
p i|V
t
= 1 − q i|V
t
−∞ i=1
= Φ( Ki(t) − ρiV
1 − ρ 2 i
). (3.61)
Les prochaines sous-sections présentent les modèles à facteur non-gaussien les plus
communs.