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Patte de protection La valeur de la patte de protection est donnée par, Vprot(0) = E[ = T 0 T 0 55 B(0, s)dL (K1,K2) s ] (3.140) B(0, s)dEL (K1,K2) s ] (3.141) Cette équation peut également être approximée sous forme discrète par Vprot(0) ≈ Ntr M i=1 B(0, ti)[EL (K1,K2) ti − EL (K1,K2) ti−1 ]. (3.142) Il est à noter que, comme hypothèse simplificatrice, le paiement d’un défaut se fait au même moment que le paiement de la prochaine prime suivant ce défaut. Cette approximation au niveau de l’actualisation des paiements de protection a peu d’impact sur la valorisation du CDO dans la mesure ou le fréquence des paiements des primes est grande. Calcul du prix juste s (K1,K2) Finalement, le prix juste s (K1,K2) pour une tranche donnée [K1, K2] est calculé à partir des équations 3.137 et 3.142 en isolant s (K1,K2) tel que Vpri(0) = Vprot(0), s (K1,K2) = M (K1,K2) i=1 B(0, ti)[EL ti ] ∆ M i=1 [B(0, ti−1)(1 − EL (K1,K2) . (3.143) )] − EL (K1,K2) ti−1 Par conséquent, l’évaluation du prix d’une tranche de CDO consiste essentiellement à calculer l’espérance liée à la fraction des pertes de la tranche (E[L (K1,K2) ti ]) dans l’intervalle [0, ti], i = 1, ..., M. La fraction des pertes pour une tranche [K1, K2] dans l’intervalle [0, t] est donnée par l’équation 3.135 et peut être exprimée comme une fonction de ces pertes g(Lt) selon L (K1,K2) t = = 1 K2 − K1 1 K2 − K1 ti−1 max[min(Lt, K2) − K1, 0] (3.144) g(Lt), (3.145)
où Lt, exprime la fraction des pertes pour l’ensemble du portefeuille et est fournie à l’équation 3.133. L’espérance peut alors être calculée selon E[L (K1,K2) t ] = = = ≈ 1 K2 − K1 1−RC 1 K2 − K1 0 1 1 K2 − K1 1 K2 − K1 56 E[g(Lt)] (3.146) 0 g(l)dQ(Lt ≤ l)] (3.147) g(x(1 − Rc))dQ(Lt ≤ x)] (3.148) I g(xi(1 − Rc))(Q(Lt ≤ xi) − Q(Lt ≤ xi−1)),(3.149) i=1 où g(x(1 − Rc)) = max[min(x(1 − Rc), K2) − K1, 0] et les xi, i = 1, ..., I sont des points, choisis selon un pas régulier, correspondant à la fraction des pertes possibles du portefeuille sur l’intervalle [0, 1].
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HEC MONTRÉAL Modèles et méthodes
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stochastique, NIG (Normal Inverse G
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Table des figures 1.1 Progression d
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