HEC MONTRÉAL

Q(Xi < Ki(t)) = FXi (Ki) = ui, où FXi
Xi , alors
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est la fonction de répartition marginale des
Ki = F −1
Xi (ui). (3.37)
Il est à noter que, tel que présenté précédemment à la section Construction d’une
courbe de crédit (voir les équations 3.26 et 3.30), il est commun de calibrer ce modèle
à partir des prix observés sur le marché des CDS. Dans ce cas, le seuil Ki(t) est choisi
tel que la marge F cds
i (t) définie à l’équation 3.26, soit liée à ce seuil selon :
c’est-à-dire
et un seuil de défaut donné par
F cds
i (t) = Q(Xi < Ki(t)), (3.38)
F cds
i (t) = FXi (Ki(t)), (3.39)
Ki(t) = F −1 cds
(F Xi i (t)). (3.40)
La valeur de la marge F cds
i (t) dépendra uniquement des prix observés sur le marché
des CDS et, par conséquent, aura la même valeur peu importe la copule choisie pour
la modélisation de la dépendance.
A partir de la marge Fi(t) = F cds
i (t), en définissant ti = F −1
i (ui) et en appliquant
le théorème de l’espérance itérée, la fonction de copule de défauts C est alors définie
comme
C(u1, ..., un) = Q(τ1 ≤ F −1
1 (u1), ...τn ≤ F −1
n (un)) (3.41)
= Q(X1 ≤ K1(t1), ..., Xn ≤ Kn(tn)) (3.42)
= E[Q(X1 ≤ K1(t1), ..., Xn ≤ Kn(tn)|V )]
∞
(3.43)
= Q(X1 ≤ K1(t1), ..., XnKn(tn)|v)f(v)dv,
−∞
(3.44)
où f(v) est la fonction de densité du facteur commun.
Étant donné l’indépendance conditionnelle entre les v.a. induites par le facteur
commun V ,
C(u1, ..., un) =
∞
−∞ i=1
n
Q(Xi ≤ Ki(ti)|v)f(v)dv (3.45)