HEC MONTRÉAL

La probabilité de défaut conditionnelle au facteur commun V est donnée selon
p i|V
t
= 1 − q i|V
t
= t[ Ki(t) − ρiV ( νV −2
2 1 − ρi ( νV −2
i ) 1/2
νV i
νV )1/2
42
], (3.68)
où t est une fonction de répartition Student-t et Ki(t) le seuil de défaut. Ce seuil de
défaut est donné selon
Ki(t) = H −1 (F cds
i (t)), (3.69)
où H est la fonction de distribution de Xi et F cds
i (t) la fonction de survie individuelle
obtenue à partir des prix observés sur le marché des CDS.
Cette copule double-t, tout comme pour la copule Student-t, présente une
dépendance symétrique dans les queues de sa distribution. Le vecteur (X1, ...Xn) ne
suit toutefois pas une distribution de type Student-t puisque chaque v.a. Xi résultant
de la somme de deux v.a. indépendantes Student-t n’est pas de type Student-t. La
v.a. Student-t n’est en effet pas stable sous l’opération de somme ; cette propriété
de stabilité se démontre directement (par convolution) ou indirectement (au moyen
des fonctions caractéristiques). De plus, le calcul de la fonction de répartition de
H est numériquement exigeant, ce qui limite son utilisation dans le cadre de simu-
lations Monte-Carlo. La valeur de seuil Ki(t), connaissant la probabilité de défaut
individuelle p i t = F cds
i (t), peut être déterminée implicitement selon :
p i t =
∞
−∞
où f(v) est la fonction de densité du facteur commun V .
Modèle à un facteur Normal Inverse Gaussian (NIG)
p i|v
t f(v)dv, (3.70)
Le modèle à un facteur NIG a été introduit par Kelamenova-Schmid-Werner [30]
comme alternative aux limites imposées par le modèle à un facteur double-t en termes
de rapidité des calculs. Ainsi, la distribution NIG (Normal Inverse Gaussian), un
cas particulier des distributions hyperboliques généralisées (Barndorff-Nielsen [3]),
permet de tirer avantage des qualités de la distribution Student-t (queue épaisse)