HEC MONTRÉAL

espérances du modèle sont calculées sous cette mesure Q, permettant une valorisa-
tion neutre au risque.
3.2.2 Construction d’une courbe de crédit
Afin de valoriser un CDO, le comportement du temps de défaut (τi) pour chacun
des n éléments du portefeuille (1 ≤ i ≤ n) doit être modélisé. A cet effet, il est
commun d’utiliser une fonction de survie S(t) permettant de calculer la probabilité
qu’un temps de défaut τ survienne au-delà d’un certain intervalle de temps t. Ainsi,
pour chaque élément i du portefeuille, une courbe de probabilité de survie est générée
en fonction du temps t.
Le temps de défaut τ est alors modélisé comme un temps d’arrêt, avec une fonction
de répartition F (t) = Q(τ ≤ t) = 1 − S(t), t ≥ 0. Le taux de hasard ht est défini par
h(t) =
34
f(t)
. (3.21)
1 − F (t)
Par conséquent, étant donné la survie jusqu’au temps t d’un élément i du portefeuille,
sa probabilité instantanée de défaut sous Q dans un intervalle de temps [t, t + dt] est
égale à hi(t)dt. Alternativement, il est possible de démontrer que cette interprétation
est équivalente à une modélisation selon le premier arrivage d’un processus de comp-
tage de Poisson avec une intensité λt = ht. Formellement, la fonction de survie est
alors calculée selon
Si(t) = P (τi > t) (3.22)
= exp(−
La fonction de répartition du temps de défaut est donnée par
t
0
hi(u)du). (3.23)
Fi(t) = P (τi ≤ t) (3.24)
= 1 − S(t) (3.25)
= 1 − exp(−
t
0
hi(u)du). (3.26)