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Chapitre 4 Méthodes de calcul des pertes du portefeuille d’un CDO 4.1 Introduction Tel que présenté au chapitre précédent, la valorisation du CDO implique le calcul des pertes sur le portefeuille sous-jacent selon un modèle choisi lié à une copule permettant de modéliser la dépendance conjointe des crédits du portefeuille ; il faut alors estimer les paramètres inconnus de la copule par une méthode de son choix. Dans le cadre de ce mémoire, le calcul des pertes du portefeuille (plus spécifiquement l’espérance des pertes) est réalisé par les trois méthodes suivantes : par simulation de Monte-Carlo [20][40], par le modèle de Laurent et Gregory [35] selon une méthode semi-analytique (FFT) et par le modèle de Kelamenova-Schmid-Werner [30] basé sur la méthode d’un large portefeuille homogène (LHP) de Vacicek [53]. 57
4.1.1 Calibration de la copule Calibration semi-paramétrique Puisque les temps de défauts sont des événements rares, et qu’en pratique on a peu de données pour modéliser leur dépendance, il est commun de poser comme hypothèse que le temps de défaut d’un élément du portefeuille est une valeur croissante de la valeur du titre boursier correspondant. La copule des temps de défauts est alors la même que celle des valeurs des titres. Une méthode semi-paramétrique est présentée afin d’estimer les paramètres de dépendance inconnus de la copule choisie (voir comme référence [20]). Cette méthode est qualifiée de semi-paramétrique puisque les marges de la distribution sont inconnues et doivent également être estimées. Il est à noter que dans le cas d’une copule normale multivariée, le seul paramètre à estimer est la matrice de corrélation R à partir des observations de la valeur des titres en bourse. Voici les étapes de la méthode : Soit un échantillon {X1t, ..., Xnt} T t=1 suivant une copule de loi CΘ et F1(x1t), ..., Fn(xnt) les marges inconnues associées, où n est le nombre de titres dans le portefeuille et T la période d’observation. 1. Estimer les marges Fi(·) pour i ∈ {1, ..., n} : Fi(·) = 1 T T t=1 1{Xit≤·}, où 1{Xit≤·} est une fonction indicatrice. 2. Transformer l’échantillon de données en variables pseudo-uniformes : ut = (u1t, ..., unt) = [ F1(x1), ..., Fn(xn)], où t ∈ {1, ..., T }. 3. Estimer Θ avec la méthode du maximum de vraisemblance en maximisant T t=1 ln cΘ( ut; Θ), où Θ est l’ensemble des paramètres de la copule CΘ et c la dérivée partielle mixte de dimension n de la copule CΘ (voir équation 3.5). Il est à noter que dans le cas d’un portefeuille composé de n = 100 éléments, il y a alors n(n−1) 2 = 4950 paramètres à estimer pour la matrice Θ dans le cas gaussien et 100 paramètres dans le cas du modèle à un facteur gaussien. Dans le cas d’une copule ayant un nombre supérieur de paramètres libres à estimer, le degré de complexité 58
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HEC MONTRÉAL Modèles et méthodes
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stochastique, NIG (Normal Inverse G
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Table des matières Sommaire . . .
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Table des figures 1.1 Progression d
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Fig. 1.1: Progression de la valeur
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plus commun étant le modèle à un
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