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Par la propriété de la probabilité totale, en intégrant sur toutes les valeurs pos- sibles du facteur commun V , la transformée de Fourier de la fonction de densité de Lt non-conditionnelle s’exprime selon ∞ n ΦLt(ω) = [1 + q i|V t (exp −jωAi −1)]fV (v)dv, (4.17) −∞ i=1 où fV est la fonction de densité de V . Finalement, la fonction de densité de Lt (fLt) est déterminée en calculant numériquement la transformée inverse de Fourier de ΦLt(ω). Comme référence, le document technique suivant (The Fourier Transform Method, [9]), préparé par Moo- dy’s Investors Service présente des aspects techniques, théoriques et pratiques de cette méthode par transformée de Fourier (FFT) pour les dérivés sur crédit. 4.3.1 Algorithme de valorisation Tous les éléments sont maintenant réunis afin de calculer le prix juste s (K1,K2) d’une tranche d’un CDO (d’échéance T sur un intervalle de pertes [K1, K2]) selon l’équation 3.143 par la méthode de calcul semi-analytique par transformée de Fou- rier. Cette méthode permet essentiellement de calculer, par intégrale numérique et transformée inverse de Fourier, la fonction de densité de la fraction des pertes. Les espérances E[L (K1,K2) ti ] définies selon l’équation 3.149 peuvent alors être évaluée pour ti, i = 1, ..., M, où T = tM. Voici les différentes étapes pour évaluer le prix d’un CDO pour un portefeuille composé de n crédits : 1. Choisir un modèle à un ou plusieurs facteurs lié aux probabilités q i|V t , p i|V t , i ∈ {1, ..., n} ; 2. Calibrer les paramètres de dépendance selon la méthode implicite présentée ; 3. Construire n courbes de crédit (marges Fi, i ∈ {1, ..., n}) selon 3.26 ; 4. Pour chaque temps ti, i = 1, ..., M durant la durée de vie T = tM du CDO ; (a) Calculer ΦLt i (ωj) selon 4.17 par intégrale numérique, pour chaque pas ωj de la transformée de Fourier de résolution ResF, ωj, j = 0, ..., ResF/2 ; 67
(b) Calculer la fonction de densité (discrète) de la fraction des pertes (fLt i ) par transformée inverse de Fourier (algorithme FFT inverse) du vecteur obtenu [ΦLt i (ω0),...ΦLt i (ωResF/2−1),ΦLt i (ω0),...ΦLt i (ωResF/2−1)] ; (c) Déduire la fonction de répartition discrète FLt i ; (d) Calculer E[L (K1,K2) ti ] selon l’équation 3.149 ; 5. Calculer le prix juste s (K1,K2) selon 3.143. 4.4 Méthode de calcul par l’approximation du large portefeuille homogène (LHP) Ce modèle suppose que les n crédits du portefeuille sont homogènes, de valeur nominale A et de taux de recouvrement constant Rc. De plus, sous l’hypothèse d’un modèle à un facteur (les temps de défaut (τi < t) sont indépendants conditionnel- lement au facteur commun V ), les paramètres de défaut sont posés constants pour l’ensemble du portefeuille. La probabilité conditionnelle de défaut p i|V t est donc la même pour l’ensemble des éléments du portefeuille ( p i|V t 68 = Q(τi ≤ t|V ) = pt(V )). La fraction des pertes totales du portefeuille L(t) (équation 3.133)pour un temps t durant la durée du CDO est donnée par L(t) = A(1 − Rc) Np n Ii(t), (4.18) où Ii(t) = 1τi
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HEC MONTRÉAL Modèles et méthodes
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Table des figures 1.1 Progression d
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plus commun étant le modèle à un
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de défaut. Pas de défaut Défaut
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cette prime sera élevée. 2.1.2 In
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prenant une valeur au dessus ou en
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CDO en deux grands groupes en fonct
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