HEC MONTRÉAL

ce qui limite son utilisation dans le cadre de simulations Monte-Carlo. Cette valeur
de seuil Ki(t), connaissant la probabilité de défaut individuelle non-conditionnelle
p i t = F cds
i (t), peut être déterminée implicitement selon :
p i t =
=
∞
−∞
∞
−∞
49
p i|v
t fvdv (3.108)
Φ( Ki(t) − √ a1v≤θV − √ b1v>θV − κ
)φ(v)dv (3.109)
ν
Modèle à un facteur NIG avec extension aléatoire de la corrélation
A. Luscher dans [37] présente une extension aléatoire de la corrélation, adaptée
pour un modèle à un facteur NIG.
Soit (X1, ..., Xn) un vecteur aléatoire tel que
Xi = a(V )V + νVi + κ, i = 1, ..., n (3.110)
où V est un facteur de marché commun à tous les crédits du portefeuille, Vi un facteur
spécifique au crédit i, a(V ) le paramètre aléatoire qui est fonction du facteur commun
de marché V et ν, κ des paramètres choisis tel que les Xi soient des v.a. NIG.
On suppose, comme hypothèses de modélisation, que
1. V ∼ NIG(1) ;
2. les (V1, ..., Vn) sont i.i.d. selon ∼ NIG(c) ;
3. V est indépendante de (V1, ..., Vn).
où, afin de simplifier la notation, FNIG(s) = FNIG(x; sα, sβ, −s
√ αβ
, sα). De plus,
(α2−β2 )
conditionnellement au facteur commun V , les v.a. Xi sont indépendantes. Quant à la
constante c, elle est choisie de sorte que, dans le cas où a = b (les valeurs possibles
pour la corrélation aléatoire), le modèle à un facteur NIG est retrouvé. Des choix
possibles pour c sont par exemples : c = √ 1−a
√ a ou c = √ 1−b
√ b .
Calcul de ν et κ
Quant aux valeurs de ν et κ, ils doivent être choisis tel que E[Xi] = 0 et Var[Xi] =
Var[V ] = Var[Vi]. Or, à partir des propriétés de la distribution NIG, Var[V ] =