HEC MONTRÉAL

4.1.1 Calibration de la copule
Calibration semi-paramétrique
Puisque les temps de défauts sont des événements rares, et qu’en pratique on a peu
de données pour modéliser leur dépendance, il est commun de poser comme hypothèse
que le temps de défaut d’un élément du portefeuille est une valeur croissante de la
valeur du titre boursier correspondant. La copule des temps de défauts est alors la
même que celle des valeurs des titres.
Une méthode semi-paramétrique est présentée afin d’estimer les paramètres de
dépendance inconnus de la copule choisie (voir comme référence [20]). Cette méthode
est qualifiée de semi-paramétrique puisque les marges de la distribution sont inconnues
et doivent également être estimées. Il est à noter que dans le cas d’une copule normale
multivariée, le seul paramètre à estimer est la matrice de corrélation R à partir des
observations de la valeur des titres en bourse. Voici les étapes de la méthode :
Soit un échantillon {X1t, ..., Xnt} T t=1 suivant une copule de loi CΘ et
F1(x1t), ..., Fn(xnt) les marges inconnues associées, où n est le nombre de titres dans
le portefeuille et T la période d’observation.
1. Estimer les marges Fi(·) pour i ∈ {1, ..., n} :
Fi(·) = 1
T
T
t=1 1{Xit≤·}, où 1{Xit≤·} est une fonction indicatrice.
2. Transformer l’échantillon de données en variables pseudo-uniformes :
ut = (u1t, ..., unt) = [ F1(x1), ..., Fn(xn)], où t ∈ {1, ..., T }.
3. Estimer Θ avec la méthode du maximum de vraisemblance en maximisant
T
t=1 ln cΘ( ut; Θ), où Θ est l’ensemble des paramètres de la copule CΘ et c la
dérivée partielle mixte de dimension n de la copule CΘ (voir équation 3.5).
Il est à noter que dans le cas d’un portefeuille composé de n = 100 éléments, il y
a alors n(n−1)
2
= 4950 paramètres à estimer pour la matrice Θ dans le cas gaussien et
100 paramètres dans le cas du modèle à un facteur gaussien. Dans le cas d’une copule
ayant un nombre supérieur de paramètres libres à estimer, le degré de complexité
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