HEC MONTRÉAL

et
où V suit une distribution Gamma(1/θ).
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q i|V
t = exp(−V (Si(t) −θ − 1)), (3.82)
Alors que dans le cas particulier d’une copule de Gumble, la fonction génératrice
est donnée par
et
ϕGumble(t) = (− ln t) θ , θ ≥ 1, (3.83)
q i|V
t = exp(−V (− ln(Si(t))) θ ), (3.84)
où V suit une distribution Stable standard de paramètre α = 1/θ .
Modèle à un facteur Marshall-Olkin
Ce modèle suppose que V , le risque commun à tous les crédits du portefeuille ainsi
que Vi, le risque spécifique à chaque crédit, sont des v.a. indépendantes de distribution
exponentielle de paramètres respectifs λ et 1 − λ, où λ ∈ [0, 1]. Le vecteur aléatoire
(X1, ...Xn) pour ce modèle est alors donné selon
Xi = min(Vi, V ), (3.85)
où Xi, conditionnellement au facteur commun V, peut être interprété comme que
le temps de défaut individuel du crédit i suivant une distribution exponentielle de
paramètre λXi = 1.
Ainsi, pour un élément de crédit individuel, étant donné un risque commun connu,
il y a survie si le risque Vi spécifique à i et le risque V commun pour l’ensemble de
l’économie est plus grand que le temps t observé. Cela implique alors que dans le cas
extrême où l’économie entière (facteur commun) est dans une situation apocalyptique
de défaut, toutes les compagnies seront simultanément en défaut au temps V = v. La