HEC MONTRÉAL

Par la propriété de la probabilité totale, en intégrant sur toutes les valeurs pos-
sibles du facteur commun V , la transformée de Fourier de la fonction de densité de
Lt non-conditionnelle s’exprime selon
∞ n
ΦLt(ω) = [1 + q i|V
t (exp −jωAi −1)]fV (v)dv, (4.17)
−∞ i=1
où fV est la fonction de densité de V .
Finalement, la fonction de densité de Lt (fLt) est déterminée en calculant
numériquement la transformée inverse de Fourier de ΦLt(ω). Comme référence, le
document technique suivant (The Fourier Transform Method, [9]), préparé par Moo-
dy’s Investors Service présente des aspects techniques, théoriques et pratiques de cette
méthode par transformée de Fourier (FFT) pour les dérivés sur crédit.
4.3.1 Algorithme de valorisation
Tous les éléments sont maintenant réunis afin de calculer le prix juste s (K1,K2)
d’une tranche d’un CDO (d’échéance T sur un intervalle de pertes [K1, K2]) selon
l’équation 3.143 par la méthode de calcul semi-analytique par transformée de Fou-
rier. Cette méthode permet essentiellement de calculer, par intégrale numérique et
transformée inverse de Fourier, la fonction de densité de la fraction des pertes. Les
espérances E[L (K1,K2)
ti ] définies selon l’équation 3.149 peuvent alors être évaluée pour
ti, i = 1, ..., M, où T = tM.
Voici les différentes étapes pour évaluer le prix d’un CDO pour un portefeuille
composé de n crédits :
1. Choisir un modèle à un ou plusieurs facteurs lié aux probabilités q i|V
t , p i|V
t ,
i ∈ {1, ..., n} ;
2. Calibrer les paramètres de dépendance selon la méthode implicite présentée ;
3. Construire n courbes de crédit (marges Fi, i ∈ {1, ..., n}) selon 3.26 ;
4. Pour chaque temps ti, i = 1, ..., M durant la durée de vie T = tM du CDO ;
(a) Calculer ΦLt i (ωj) selon 4.17 par intégrale numérique, pour chaque pas ωj
de la transformée de Fourier de résolution ResF, ωj, j = 0, ..., ResF/2 ;
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