Qu'est-ce qu'une formation professionnelle universitaire des ... - IUFM

E. ROUYdifficulté des élèves du secondaire à associer la pente d’une tangente à la limite d’unesuite de quotients différentiels », difficulté s’inscrivant dans un obstacle épistémologiqued’hétérogénéité des grandeurs, dont fait partie l’obstacle géométrique de la limite : les élèvesconsidérant la tangente comme objet premier par rapport à sa pente procèdent en fait à un« faux » passage à la limite dans le domaine géométrique.La notion de tangente est en effet un objet « hybride » par nature. D’abord géométrique,sa généralisation à d’autres courbes amènera la manipulation de « quantités infinimentpetites » ou de « points infiniment proches », marquant les débuts de ce que nous appelonsmaintenant « analyse » quelle qu’en soit la formalisation. C’est aussi par la nécessité dedévelopper une argumentation sans recours à l’intuition géométrique que l’analyse deviendraun cadre mathématique à part entière. L’histoire montre l’intervention à deux reprisesde la cinématique dans ce transfert du continu géométrique aux nombres : d’abord unrenversement de point de vue sur la courbe devenant trajectoire puis représentation de laloi du mouvement, ensuite le recours à une analogie avec la vitesse instantanée pour faireaccepter l’existence d’un « rapport extrême ».3.3. Transpositions du savoir : entre secondaire et universitaireL’analyse de différents manuels montre une grande variabilité dans la manière dont lestranspositions proposées pour le secondaire prennent en compte les enjeux propres à cesavoir. Une analyse précise 10 des définitions, formulations, notations et représentations graphiquesutilisées amène à identifier :1- pour la définition de la dérivée, deux catégories : les manuels distinguant clairement leschangements de cadre 11 , et les manuels proposant des discours juxtaposés ;2- pour le lien entre dérivée et variation, trois catégories : les manuels ne proposant pas dedémonstration, ceux proposant un discours spécifique, et la grande majorité proposant unedémonstration consistant en l’énoncé du TAF avec son illustration géométrique.3.3.1. Discours intermédiaire entre université et secondaireCompte tenu de la « naturalisation » de cette dernière approche, nous lui avons accordé unintérêt particulier. En la comparant avec le discours théorique nous avons alors été amenéeà la qualifier de « praxéologie à trous 12 ». Le discours théorique enseigné à l’université pourétablir le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction comporte20 étapes dont le fondement est soit l’axiome des intervalles emboîtés, soit l’existenced’une borne supérieure. La plupart des transpositions proposent par contre l’énoncé durésultat « démontré » par le TAF 13 , sans autre discours accompagnateur excepté l’illustrationgéométrique avec les tangentes. Le discours technologique faisant fonction peut donc êtredécrit comme un « discours à trous ». C’est une adaptation tronquée du discours proprementthéorique dans laquelle un ou deux théorèmes extraits de la théorie donnent un caractère « ultima ratio » de Newton.10 Analyse détaillée dans Rouy (2005) et dans notre thèse.11 Assez curieusement, on retrouve dans cette catégorie un manuel clairement formaliste (manuel françaisdes années 70) et un ouvrage plus récent AHA annonçant une approche heuristique.12 Appellation vraisemblablement à rapprocher des organisations incomplètes étudiées par Bosch et Gascon(2004).13 En fait, les énoncés sont seulement présentés l’un après l’autre, le théorème de Rolle étant souventprésenté comme « un cas particulier » du TAF.22IUFM Nord-Pas de Calais