94 Chapitre 5. Graphène multi-feuill<strong>et</strong>Figure 5.4 (a) Partie supérieure : Schéma des interactions entre atomes prisesen compte dans les simu<strong>la</strong>tions présentées dans ce chapitre <strong>pour</strong> un échantillon degraphène tri-couche d'empilement Bernal. Partie inférieure : idem <strong>pour</strong> tri-couched'empilement rhomboédrique. L'énergie des sites atomiques est montrée <strong>et</strong> dépenddu nombre de voisins verticaux. Les noms des sites A, B, C correspondent auxdiérents types de sous réseaux (voir 1.2.4). (b) Schéma d'un échantillon multicouchedans une conguration avec une seule grille inférieure. Le potentiel de chaquecouche est indiqué par les termes ϕ i , avec ϕ 0 le potentiel de <strong>la</strong> grille.graphène. En intégrant le théorème de Gauss sur les diérentes couches, on obtientp équations :ϕ j−1 − ϕ j = 4πed p∑jn i (5.3)κ javec ϕ 0 = ϕ g le potentiel de grille, j est l'indice de <strong>la</strong> couche al<strong>la</strong>nt de 1 à p <strong>et</strong> lestermes n i sont les densités d'états totales de <strong>la</strong> couches i en unité de −e. La valeurd i représente <strong>la</strong> distance entre 2 couches <strong>et</strong> κ i <strong>la</strong> constante diélectrique entre deuxcouches consécutives. De plus le potentiel électrochimique total du système doit êtreégal à celui aux bornes de <strong>la</strong> capacité globale formée par <strong>la</strong> grille <strong>et</strong> l'échantillon degraphène multi-couche. On peut alors écrire :i=1eV g = ζ − ζ g (5.4)où ζ est le potentiel électrochimique du graphène multi-couches <strong>et</strong> ζ g le potentiel degrille. Au sein de <strong>la</strong> grille métallique on peut écrire que ζ g = −eϕ 0 . On en déduitque :eV g = ζ + eϕ 0 (5.5)Pour le graphène tri-couche, on obtient donc un système de trois équations qu'ilfaut résoudre de manière auto-cohérente <strong>pour</strong> pouvoir déterminer le potentiel desdiérentes couches. Nous faisons l'hypothèse que le système contient des chargesdisposées aléatoirement sur <strong>la</strong> couche supérieure de l'échantillon. Ces charges
5.1. E<strong>et</strong> Hall quantique entier dans le graphène tri-couche 95rendent compte de <strong>la</strong> valeur de tension de grille non nulle du point de neutralitéde charge V CNP . La densité de porteurs de <strong>la</strong> couche supérieure s'écrit alorsñ 3 = n 3 + ∆n 3 , où ∆n 3 est <strong>la</strong> densité d'impur<strong>et</strong>és chargées. On ne connait pas àpriori <strong>la</strong> densité d'impur<strong>et</strong>és, mais en considérant de manière simple le dispositif"graphène tri-couche/grille" comme une capacité p<strong>la</strong>ne unique, nous pouvons écrire∆n = κV CNP /4πed.5.1.2.3 Détermination de l'empilementLa partie centrale de <strong>la</strong> gure 5.5 montre <strong>la</strong> variation énergétique des niveaux deLandau, <strong>pour</strong> les deux types d'empilement A-B-A <strong>et</strong> A-B-C, à une valeur constantede tension de grille de 50V , l'énergie du niveau de Fermi en fonction du champmagnétique est elle aussi indiqué. On remarque, tout d'abord, que <strong>la</strong> quanticationen niveaux de Landau <strong>pour</strong> les deux types d'empilements est très diérente de celleque l'on peut observer dans le graphène. On voit par exemple l'existence d'un gapd'énergie de plusieurs dizaines de meV , dû à l'application de <strong>la</strong> tension de grille. Onremarque également une forte asymétrie entre les niveaux de Landau d'électrons <strong>et</strong>ceux de trous, qui n'apparaît pas dans le graphène. Le prol des niveaux de Landau<strong>pour</strong> le graphène tri-couche est aussi fortement diérent entre l'empilement de typeBernal <strong>et</strong> le cas rhomboédrique, c<strong>et</strong>te diérence est majoritairement liée à <strong>la</strong> dégénérescencede vallée. En e<strong>et</strong>, à tension de grille nulle, le graphène tri-couche d'empilementBernal ne présente pas une symétrie d'inversion du réseau <strong>et</strong> de ce fait, <strong>la</strong> dégénérescencedevalée est levée, au contraire du cas rhombrohédrique [Koshino 2010b].Par contre, à tension de grille non nulle, comme c'est le cas ici, <strong>la</strong> présence duchamp électrique induit une redistribution des charges entre les diérentes couches,qui brise <strong>la</strong> symétrie d'inversion du réseau [Aoki 2007, Koshino 2010a] <strong>et</strong> induit unelevée de dégénérescence de vallée même dans le cas A-B-C. Malgré tout, l'amplitudede <strong>la</strong> levée de dégénérescence K-K' induite par le champ électrique dans le cas A-B-C reste plus faible que dans le cas A-B-A. On voit c<strong>la</strong>irement sur <strong>la</strong> gure 5.5 (a)<strong>et</strong> (b) que les niveaux de Landau provenant des points K (lignes continues) <strong>et</strong> despoints K' (lignes pointillés) sont très distincts dans le cas A-B-A, alors qu'ils restentà des énergies comparables <strong>pour</strong> le cas A-B-C. Sous champ magnétique intense, lesniveaux de Landau de <strong>la</strong> conguration rhomboédrique évoluent donc par groupe de4 niveaux d'énergies très semb<strong>la</strong>bles.La partie inférieure de <strong>la</strong> gure 5.5 montre les courbes de résistance de Hallthéorique <strong>pour</strong> les deux congurations. Celles-ci sont calculées à température nulle,en considérant que <strong>la</strong> conductivité de Hall varie par pas de e 2 /h quand le niveau deFermi traverse un niveau de Landau. Comme ce<strong>la</strong> a été démontré dans le chapitre6, à faible nombre quantique, <strong>la</strong> variation de l'énergie du niveau de Fermi avec lechamp magnétique est importante <strong>et</strong> doit être prise en compte (voir courbe vertedans <strong>la</strong> partie supérieure de <strong>la</strong> gure 5.5). L'é<strong>la</strong>rgissement des niveaux de Landaulié à <strong>la</strong> prise en compte dans le calcul du temps de diusion, entraîne une transitionprogressive du niveau de Fermi au travers des niveaux de Landau. Lorsque <strong>la</strong> différenced'énergie entre deux niveaux de Landau est faible face à W (20meV dans
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