"Création et utilisation d'atlas anatomiques numériques pour la ...

12 Chapitre 1. Structure de bandes de systèmes à base de graphène⎛0 v F π † ⎞0 0 0 0v F π 0 γ 1 0 0 0H A−B ( ⃗ 0 γ 1 0 v F π † 0 γ 1k) =0 0 v F π 0 0 0 ...0 0 0 0 0 v⎜F π †⎟⎝ 0 0 γ 1 0 v F π 0 ⎠...(1.10)où π = k x + ik y , et v F est la vitesse de Fermi dans le plan, dénie précédemment.Considérons des vecteurs propres de la forme ⃗a = (a 1 , b 1 , a 2 , .....b n ) avec desénergies propres ε [Min 2008b]. Pour obtenir le spectre énergétique du graphènemulti-couches, il faut résoudre le système d'équation suivant :εa 2n−1 = v F π † b 2n−1 ,εb 2n−1 = v F πa 2n−1 + γ 1 (a 2n−2 + a 2n ),εa 2n = v F π † b 2n + γ 1 (b 2n−1 + b 2n+1 ),εb 2n = v F πa 2n , (1.11)avec les conditions de bords a 0 = a N+1 = b 0 = b N+1 . En faisant le changement devariable c 2n−1 = a 2n−1 et c 2n = a 2n les équations 2.13 se réduisent à :on peut alors écrire :(ε n,k − 2 v 2 F | ⃗ k| 2 /ε)c n = γ 1 (c n−1 + c n+1 ), (1.12)ε n,k = (v F | ⃗ k|) 2 πn/ε k + 2γ 1 cos(N + 1 ) (1.13)avec n = 1, ..., N avec N le nombre total de couches. la relation de dispersion devientdonc :√πnε n,k = γ 1 cos(N + 1 ) ± (v F | ⃗ k|) 2 + γ1 2 πncos2 ( ). (1.14)N + 1Par analogie avec les particules relativistes dont le spectre d'énergie s'écrit sousla forme :ε k = √ k 2 c 2 + m 2 c 4 (1.15)on peut dénir une masse eective pour le mode n, m n = |γ 1 cos( nπN+1)|. Il estintéressant de noter que pour les valeurs de N impairs, le mode n = (N + 1)/2 aune masse nulle et une dispersion linéaire identique à celle du graphène. Pour les Npairs tous les modes possèdent une masse à basse énergie.