Полная версия - Самарский государственный аэрокосмический ...

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007
2
∂ ξ
=
2
∂t
c
2
0
2
∂ ξ
+
γ+
1 2
2
( 1 + ∂ξ ∂a) ∂a
ρ ∂ a ⋅ ∂t
b
0
∂
3
ξ
, (2)
где b - параметр диссипации, ρ
0
- плотность
жидкости. При малых ξ можно воспользоваться
уравнением, полученным из (2) раз-
−
ложением члена ( ) ( γ+ 1)
1 + ∂ξ ∂a в степенной
ряд, оставляя первые два члена разложения.
В итоге получим уравнение
2
∂ ξ 1
−
2
∂a
c
2
0
2
2
∂ ξ ∂ξ ∂ ξ b
= 2ε
−
2
2 2
∂t
∂a
∂a
c ρ
0
0
3
∂ ξ
2 ,
∂a
⋅∂t
(3)
2
1 d A4
b 2 dA4
2
+ 16k
+ 16k
A
2
2
c dt c dt
0
0
ρ0
3
2
= 2εk
[ 6A A + 10A A + 4A
],
1
3
2
1 d A5
b 2 dA
+ 25k
2
2
c dt c dt
0
0
ρ0
3
= 2εk
[ 10A A + 15A
A ].
1
4
1
2
5
3
5
2
+ 25k
2
A
4
5
=
=
(8)
(9)
Если считать далее, что нелинейные и диссипативные
члены в уравнениях (5) – (9)
малы ( µ )
~ , то решение можно приближенно
искать в форме:
где ε = ( γ + 1) / 2 - параметр нелинейности
среды. В качестве начального условия выберем
стоячую волну обычного синусоидального
типа. Также предположим, что в резонаторе
могут взаимодействовать только пять
основных мод, и будем искать решение уравнения
(3) в следующем виде:
A
A
A
A
A
1( t) = B1
( µ t) exp( iωt
) + к.с.,
2() t = B2
( µ t) exp( i2ωt)
+ к.c
3() t = B3( µ t) exp( i3ωt
) +
4() t = B4
( µ t) exp( i4ωt)
+
() t = B ( µ t) exp( i5ωt) + к.с.
5
5
.,
к.с.,
к.с.,
(10)
ξ
=
+ A
3
A1
( t) sin( ka) + A2
( t) sin( 2ka)
+
() t sin( 3ka) + A () t sin( 4ka) + A () t sin( 5ka).
4
5
(4)
Собирая выражения, стоящие при sin ( ka)
,
sin( 2 ka)
, sin( 3 ka)
, sin( 4 ka)
и sin( 5 ka)
, придем
к следующим уравнениям:
2
1 d A1
b 2 dA1
2
+ k + k A1
=
2
2
c dt c dt
0
0
ρ0
3
= 2εk
[ A A + 3A
A + 6A
A + 10A
A ],
1
c
2
0
2
d A
dt
2
1
2
b
+
2
c ρ
3⎡1
2
= 2εk
⎢
A1
⎣2
0
0
2
3
4k
2
dA
dt
2
3
⎤
+ 3A1
A3
+ 8A2
A4
+ 15A3
A5
⎥
,
⎦
4
+ 4k
2
A
2
4
=
5
(5)
(6)
Здесь B ,
1
B , B
2 3
, B и B
4 5
- медленно меняющиеся
комплексные амплитуды распространяющихся
гармоник. Сохраняя везде члены
не выше первого порядка малости, получим
dB
dt
1
+ 6B
dB
dt
2
+ 8B
dB
dt
3
b
+
2ρ
∗
3
2
k B = −iεωk
B B
∗
4
B + 10B
B
4
b
+
2ρ
∗
2
+ 15B
4
0
b
+
2ρ
∗
2
0
4k
2
B
+ 15B
B ],
5
0
9k
2
1
2
∗
3
B
B
3
B ],
],
5
= −i
5
1
2
[
∗
1
2
⎡ 1
εωk
⎢
B
⎣ 2
[
+ 3B
2
1
∗
2
+ 3B
∗
1
B
B
3
3
+
+
(11)
(12)
1
∗
= −i
εωk
6B1
B4
+ 3B1B2
+
3
(13)
2
1 d A3
b 2 dA3
2
+ 9k
+ 9k
A3
=
2
2
c dt c dt
0
0
ρ0
3
= 2εk
[ 3A A + 6A
A + 15A
A ],
1
2
4
1
2
5
(7)
174
dB
dt
4
b
+
2ρ
∗
1
16k
+ 10B
B + 4B
5
0
2
B
2
2
4
],
1
= −i
εωk[
6B1
B3
+
4
(14)