Полная версия - Самарский государственный аэрокосмический ...

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007
Первые два частных решения
( y , y , y , ) и ( , y , y , )
11 21 31
y41
y найдем
12 22 32
y42
путем интегрирования от начального значения
ξ 0 с заданным шагом t при началь-
0 =
ных условиях по верхнему краю оболочки
θ = α :
y11 , 0
= 1,
y21,
0
= 0,
y31,
0
= 0,
y41,
0
= 1
для первого решения и условиях
y12 , 0
= 0,
y22,
0
= 1,
y32,
0
= 1,
y42,
0
= 0
для второго решения.
Полученные таким образом решения
будут “возрастающими” по мере удаления от
верхнего края оболочки вниз.
Третье (
13,
y23,
y33,
y43)
( , y , y , )
14 24 34
y44
y и четвертое
y решения целесообразно
строить интегрированием от значения ξ = 0
1
с отрицательным шагом t ( t < 0 ) при начальных
условиях
y13 , 0
= 1,
y23,
0
= 0,
y33,
0
= 0,
y43,
0
= 1
и, соответственно,
y , y = 1,
y = 1,
0 .
14 , 0
= 0
24,
0 34,
0
y44,
0
=
При этом получаются решения, “возрастающие”
при движении от нижнего края
оболочки вверх.
2.3. Признаком линейной независимости
решений ( ,...),...,( y ,...)
y является неравенство
нулю
11 14
определителя
D( ξ)=
y
y
y
y
11
21
31
41
y
y
y
y
12
22
32
42
y
y
y
y
13
23
33
43
y
y
y
y
14
24
34
44
В [3] показано, что
ξ
⎛
⎞
() ξ = D0 exp⎜∫( a11
+ + a44
) dξ⎟ ⎠
. (22)
D L ,
⎝ 0
где D
0
- значение определителя (22) при
ξ = 0.
В нашем случае согласно (3)
a + a + a + a 0.
11 22 33 44
=
Поэтому
( ξ ) = D const
D . (23)
0 =
Условие (23) можно использовать для
контроля правильности вычисления значений
функций y
11,...,
y44
.
2.4. Частное решение ( , y , y , y )
y1q
2q
3q
4q
системы (1) , соответствующее заданной поверхностной
нагрузке, целесообразно искать,
применяя метод вариации постоянных [3]:
y ∑ D y
jq
= 4 i=
1
i
ji
, j = 1 , 2,
3,
4 . (24)
Здесь y
ji - совокупность всех линейно
независимых решений системы однородных
уравнений (11), ( ξ)
D - функции, определяемые
из соотношений
D
i
ξ
∫
1
() ξ = D′
()ξ ξ d
для i= 1, 2 и
D
i
ξ
∫
0
() ξ = D′
()ξ ξ d
для i= 3, 4.
i
i
i
Сами производные ( ξ)
′i
(25)
(26)
D (i = 1,2,3,4)
согласно методу вариации произвольных постоянных
находятся из зависимостей
4
∑
i=
1
или
D ′ y =
i
ji
f
jq
[ ][ Z] [ F]
(27)
Y = . (28)
Здесь
232