More documents

Recommendations

Info

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 1, 2007 Математическая модель управляемого процесса представляет собой, как правило, уравнение, связывающее последующее состояние с предыдущим состоянием и управлением. Следует подчеркнуть, однако, формальный смысл понятий состояния и управления, связанный с принятой формой математической модели, которая для реального объекта может быть не единственной. Например, в задачах оптимизации космических траекторий в качестве состояния принято рассматривать положение и скорость центра масс КА, а в качестве управления – направление вектора тяги. Изменение направления вектора тяги часто достигается путем его поворота с помощью устройств, создающих моменты относительно центра масс (ЦМ), что заставляет учитывать и динамику вращательного движения КА. Это несоответствие отражает тот факт, что математическая модель зависит от тех задач, которые должны решаться с ее помощью. Пусть на отрезке [ t 0 ,t к ] задается множество D как множество кусочно-непрерывных функций и (t) и кусочно-дифференцируемых x (t) , удовлетворяющих условиям (1.2) и минимизирующих функционал (1.3). Общий подход к решению задачи оптимизации в постановке (1.2, 1.3) основан на использовании принципа расширения и достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова [3, 4]. Как правило, во многих задачах оптимизации множество допустимых D задается посредством некоторых условий, выделяющих его из более широкого множества E. Принцип расширения множества допустимых состояний и управлений состоит в том, что функционал доопределяется на более широкое множество E′ , но так, что наименьшее значение он принимает в D. Для того, чтобы функционал (1.3) достигал абсолютного минимума на ( х, u) ∈ D , достаточно существования такой непрерывной и дифференцируемой функции ϕ ( t, x) , чтобы 1. R( x, u, t) ( ) = max R x, u, t , ( x, u ) ∈E () t 2. G( x( t ) x( t )) где G( 0 , k 0 n ∂ϕ R = ∑ i = 1 ∂ xi ( ( ) ( )) = min G x t , x tk , x t0 ) ∈Ex ( t0 ) x( t ) ∈ E ( t ) f i k x ∂ϕ + , ∂t k (1.10) x0 ,xk ) = F( ⋅) + ϕ( tk ,xk ) − ϕ( t0 ,x0 ). (1.11) Необходимо задать синтезирующую функцию ϕ(t, x), которая доопределяет функционал I на E⊃D так, чтобы минимум I принадлежал D. Один из способов (формализмов) приводит к процедуре принципа максимума Понтрягина, другой – к процедуре динамического программирования, а третий (метод кратных максимумов) пригоден для решения так называемых вырожденных задач. 1.3. Метод усреднения в задачах оптимального управления При решении некоторых видов динамических задач оптимизации в механике полета с МТ используются методы асимптотического разделения параметров движения на быстрые и медленные компоненты [2]. Это обусловливается, во-первых, наличием в явном виде малого параметра - реактивного ускорения от тяги, которое меньше гравитационного на несколько порядков; во вторых, присутствием циклической переменной - угловой координаты. Запишем уравнения движения в общем виде, придерживаясь общепринятых в задачах такого рода обозначений: ( , ϕ, ( )) x& = a⋅X x u t , ( ) ( x, ) aY x, , u( t) ϕ& = ω ϕ + ⋅ ϕ , (1.12) где x - вектор «медленных» переменных размерности n; а - малый параметр; ϕ - быстрая скалярная переменная (фаза); ( t) u ∈ U - вектор управлений размерности r. В общем случае в управление могут входить как быстрые, так и медленные составляющие. Поэтому задачу выбора оптимального управления удобно разделить на две: определение управления как функции 40
Авиационная и ракетно-космическая техника быстрой переменной (выбор структуры управления на витке) и определение законов изменения параметров этой программы от витка к витку. Критерий оптимальности представим в следующем виде: T 0 0 ( , ) I = a∫ F xu dt . (1.13) Перейдем в системе (1.12) от времени t к быстрой переменной ϕ : dx dϕ dτ dϕ = aXx = a⋅ω −1 ( , ϕ, u() t) ⋅ω ( x, ϕ) −1 ( x, ϕ). , (1.14) Здесь τ - так называемое «медленное» время, τ = a⋅ t. В соответствии с принципом максимума Понтрягина введем вектор сопряженных переменных Ψ и запишем Гамильтониан системы (1.14): H = ψ + ψ Г T ⋅aω −1 ( aω ( x, ϕ ) ⋅ X( x, ϕ ,u( t) )) + −1 −1 ( x, ϕ ) − aω ( x, ϕ ) ⋅ F ( x, ϕ ,u) = ( x, ϕ, ψ u) = aF , . (1.15) Определим локально-оптимальное управление u% из условия максимума Гамильтониана на отрезке ϕ∈ [ 0,2π] 0 . Проведем затем процедуру усреднения исходной и сопряженной систем по быстро меняющейся переменной ϕ. Усредненная система уравнений будет иметь вид ∧ 2π dx a ∧ ∧ ∧ −1 ⎛ ⎞ = ω ( , ϕ) ⋅ , ϕ, ⎛ x, ψϕ , ⎞ ⎜ ⎟ dϕ, dϕ 2π ∫ x X⎜x u% ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ∧ dψ dϕ dτ dϕ 0 2π ∧ ∧ ∧ a ⎛ ⎞ = Fx , yu , ⎛ x, ψϕ , ⎞ ⎜ ⎟ dϕ, 2π ∫ ⎜x % ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 0 2π a ∧ −1 = ω ⎛ x, ϕ ⎞ ⎜ ⎟dϕ, 2π ∫ ⎝ ⎠ 0 а усредненный критерий оптимальности (1.16) T 2π a ∧ ∧ ∧ ⎛ = 0 , ⎛ , ψϕ , ⎞ 2π ⎜ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ ⎝ ⎠ J ∫∫ F xu% ⎞ x ⎟dϕ dt ⎠ . (1.17) Интегралы в правых частях системы (1.16) образуют совокупность так называемых «усредняющих интегралов»: 2π 0 () ∫ , ( ) T j Φ= ⋅ dϕ Φ= Φ , j = 1,2n+ 1. (1.18) После усреднения правые части системы (1.16) не содержат циклической переменной ϕ. Поэтому модель «медленной» эволюции вектора состояния и вектора сопряженных переменных может быть представлена в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с «медленным» временем в качестве независимой переменной: ∧ dq dτ j = Φ ∧ Φ j⎜z ⎟ 2n+ 1 j = 1,2n+ 1, ⎛ ⎞ ∧ ∧ ∧ T ⎝ ⎠ ∧ , где q = ⎛ xψ , ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ z ⎞ ⎝ ⎠ , ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2π ∧ −1 ⎛ 2n 1 x, ⎞ + d 0 ⎝ ⎠ Φ = ∫ ω ⎜ ϕ⎟ ϕ . (1.19) Исходная оптимизационная задача сводится, таким образом, к решению краевой задачи для системы (1.16, 1.17). Однако вычисление усредняющих интегралов (1.18) представляет самостоятельную проблему и требует разработки специальных процедур. 1.4. Приближенный метод решения динамической задачи (метод разбиения) Пусть движение КА описывается системой дифференциальных уравнений (1.2). Откажемся от получения универсального решения для всего пространства переменных и поставим цель определить ряд упрощенных решений для каждой отдельной выделенной области X пространства состояний. Разобьем допустимую область фазового пространства переменных на т подобластей таких, что X ⊆ X1 ∪ X 2 ∪ X 3 ∪ ... ∪ X m . Заменим исходную двухточечную краевую задачу на многоэтапную последовательность переходов: x 0 → x → x 1 2 → ... → x m−1 → x К , 41
Page 1 and 2: ВЕСТНИК САМАРСКОГО
Page 3 and 4: СОДЕРЖАНИЕ АВИАЦИО
Page 5 and 6: ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕС
Page 7 and 8: TECHNICAL SCIENCES DEVELOPING THE B
Page 9 and 10: Авиационная и раке
Page 33 and 34: щихся в диапазонах
Page 39: Авиационная и раке
Page 51 and 52: ющих центров в плос
Page 75 and 76: Таблица 1 Авиационн
Page 91 and 92:
Авиационная и раке
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
связями ( l вх (а)= l в
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Технические науки
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Технические науки M
Page 149 and 150:
Технические науки 3
Page 151 and 152:
′′′ Технические н
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Технические науки (
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
малом объеме. Систе
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Технические науки =
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Технические науки d
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Технические науки A
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Технические науки E
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Таблица 1. Основные
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
ЭХО с периодическо
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Физико-математичес
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
[ ] [ ] = y ( ξ ) Y , j ,k = 1 , 2
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Кибернетика и инфо
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
стояний) традицион
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Пуск Кибернетика и
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
show all

ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - Ð¡Ð°Ð¼Ð°ÑÑÐºÐ¸Ð¹ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½ÑÐ¹ Ð°ÑÑÐ¾ÐºÐ¾ÑÐ¼Ð¸ÑÐµÑÐºÐ¸Ð¹ ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

ÐÐ¾Ð»Ð½Ð°Ñ Ð²ÐµÑÑÐ¸Ñ - Ð¡Ð°Ð¼Ð°ÑÑÐºÐ¸Ð¹ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½ÑÐ¹ Ð°ÑÑÐ¾ÐºÐ¾ÑÐ¼Ð¸ÑÐµÑÐºÐ¸Ð¹ ...