Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics

2 x
4 3x
sin
sin
3a
a 3a
a
Bestäm (a) vågfunktionen och (b) väntevärdet av energin vid en senare tidpunkt t .
Lösning:
(a) Energiegenfunktionerna och energiegenvärdena ges av
2 nx
iEnt
/
n
( x,
t)
sin
e
a a
2 2 2 2
kn
n
En
2m
2m
a
n 1,2,...
Vågfunktionen vid t 0 kan därför skrivas:
2 x
4 3x
1 2
( x,0)
sin
sin
1(
x,0)
3
( x,0)
3a
a 3a
a 3 3
Notera att vågfunktionen är normerad. Vågfunktionen vid t 0 blir:
1 2
2 x
iE / 4 3
1t
x
x,
t)
1(
x,
t)
3(
x,
t)
sin
e
sin
e
3 3 3a
a 3a
a
E
iE3t
/
(
1
2 2
2
2ma
, E
3
2 2
9
2
2ma
(b) Eftersom vågfunktionen är normerad blir väntevärdet av energin vid tiden t :
E
1 *
E1
1
1dx
E3
3
1
E1
2E3
3 3
*
Hdx
2
3
E1
2E3
E
3 3
1
1(
x,
t)
3
*
3
3dx
E
1
1
1
2 2
1
2
3 2ma
2
3(
x,
t)
3
2
3
0
*
E
1
*
3
1dx
E
1
1(
x,
t)
E
3
3
2
3
2 2
2 2
2 9
19
2
2
3 2ma
3 2ma
dvs tidsoberoende, vilket är ett exempel på energikonservation.
0
3
*
1
3dx
2
3(
x,
t)
dx
3