Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics

Ex5:7 I följande problem ska vi utnyttja ett av kvantmekanikens postulat:
Mätbara kvantiteter representeras av Hermiteska operatorer, dvs
operatorer  som uppfyller
*
1
dx
Aˆ
A ˆ *
2
1
2dx
för alla vågfunktioner , 1 2
(a) Använd rörelsemängdsoperatorn
tidsberoende Schrödingerekvationen
pˆ
i
, som är Hermitesk, och
x
(
x,
t)
i
t
2
2
pˆ
h
V
( xˆ)
( x,
t)
2m
2m
2
(
x,
t)
V
( x)
(
x,
t)
2
x
för att bestämma tidsderivatan av positionsväntevärdet:
d x d
m
*
*
*
m m x t x x t dx
i x x i dx
dt dt
(
, ) (
, )
i
t
t
*
i
t
2 2 *
2 2
m h
h
*
*
V x x
V dx
i
m x
m x
2
2
2 2
*
*
i
* i
x x
x x dx
*
dx
2 x
x
x x
x
x x
2
1
1
i
2
x
*
( a):
0
*
1
dx
x
2
*
*
*
p dx
pdx
pdx
p
*
( b):
pdx
I (a) har vi antagit att ( x , t)
0 för x , och i (b) utnyttjat att
rörelsemängdsoperatorn pˆ är en Hermitesk operator.
1
2