Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics

Ex4:9. Studera vågfunktionerna hos en partikel i en endimensionell oändlig
lådpotential med bredd L :
n
( x)
N sin k x,
0 x a
med k n
2
n / L,
n 1,2,3 ,....
(a) Visa att funktionerna är normerade:
dvs att dx 1
n
är uppfyllt med N 2 / L för alla värden på n .
(b) Visa att funktionerna är ortogonala:
*
m
dx n
0, m n
Kommentar: Egenskaperna (a),(b) kan skrivas tillsammans med hjälp av
Kronecker-delta symbolen:
dx
*
m
n
m,
n
1,
m n
0,
m n
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas för
ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.
Ex4:10. Visa i allmänna fallet att egenfunktioner som hör till olika energiegenvärden,
E , till tidsberoende SE är ortogonala:
m
E n
*
m
ndx
m,
n
Anm: Man kan visa att egenfunktionerna till degenererade energinivåer,
E , kan väljas så att de blir ortogonala.
m
E n
Ex4:11. (T) En 50 eV elektron är bunden i en potentialbrunn vars väggar består av
två tunna kondensatorer som vardera laddats till 200 V, och som har
utgångshål genom vilka elektronen kan passera. Bestäm
inträngningsdjupet.