Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics

Kap 9. Molekylfysik.
Ex9:1 Vibrationer i tvåatomig molekyl kan beskrivas av Morsepotentialen
rR
2 0
U ( r)
U
0
1
e
a) Jämviktsavståndet motsvarar ett minimum för potentialen (naturen strävar
alltid efter lägsta energistillståndet).
Minimum:
dU ( r)
( rR
)
( 0 )
( 0 )
2U
0
e 1
0 1
0
rR
rR
e e 0 r R 0
dr
b) Potentialen på långt avstånd: U ( r )
U
0
1
e U
01
0 U
0
c) Nära R 0 kan vi serieutveckla Morse-potentialen
Taylor-utveckling kring a:
f '( a)
f ''( a)
2
3
f ( x)
f ( a)
( x a)
( x a)
((
x a)
)
1!
2!
dU
2U
0
dr
dU ( r R
dr
2
d U dU
2
dr dr
2
d U ( r R
dr
2
e
0
)
( r R
0
0
)
1 e
( r R
( rR0
)
( rR0
)
2
( rR0
)
( rR0
)
2U
e
1
e
2U
e 2e
1
0
0
)
2U
0
2
Taylorutvecklingen blir då:
2
2U
0
2
3
2
U ( r)
0 0( r R ) ( r R0
) ( r R0
) U
0
( r R
2
0
)
0
2
2
0 0
)
Detta liknar potentialen för en harmonisk oscillator med x = r - R 0 :
U
1
2
2 1 2 2
K
m
m
2
( x)
Kx
x
Identifiera termer:
2
2
1
2
2
m
x
2
2
U x
0
2
K
2
m
2U
0
2
d) Potentialen i jämviktsläget U(R 0 ) är 0. På oändligt avstånd motsvarande
två fria atomer är potentialen U 0 . Lägsta energistillståndet har en energi ≠
0. Dissociationsenergin är den energi som måste tillföras en molekyl (i
grundtillståndet) för dess energi skall överstiga ”potentialbarriären”, dvs