Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics

2
1
2
2 2 *
1
1
1
2
cosE
1
E2
t
/
0
Alltså oscillerar sannolikhetstätheten med vinkelfrekvens E1 E 2
/ ,
dvs med periodtid t 2 / E1 E2
/ E
. Alltså är t
E
. Detta
är ett exempel på osäkerhetsrelationen för tid och energi, som säger att
t E
.
Tolkning: osäkerheten i tid är den karakteristiska tiden för att tillståndet
helt ska ha ändrat form jämfört med initialtillståndet.
Ex4:9. (a)
L
2 2 nx
n
dx N sin
dx
L
0
Denna integral kan enkelt göras mha trigonometriska formler (se (b)).
2
Alternativt kan vi utnyttja följande trick. Integralen går över en period av sin
funktionen, och måste ha samma värde som integralen över en period av
2
cos funktionen. Alltså blir integralen ovan lika med
L
2 1 2 nx
2 nx
sin
cos
2
n
dx N
2
dx N
0 L L
där vi använt trigonometriska ettan. Alltså kan vi välja
värden på n .
(b) Använd trigonometriska identiteten
sin xsin
y 1 2
(cos( x y)
cos( x y )) :
1
L 1
2
N 2 / L för alla
L
L
* 2 mx
nx
2 1 ( m n)
x
( m n)
m
ndx
N sin sin dx N cos
cos
L L 2 L
L
0
0
x
dx
N
2
1 L ( m n)
x
L ( m n)
x
sin
sin
2
( )
( )
m n L m n L
L
0
0
Kommentar: Egenskaperna i (a) och (b) kan skrivas tillsammans med hjälp
av Kronecker-delta symbolen:
dx
*
m
n
m,
n
1,
m n
0,
m n
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas för
ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.