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数 学 家 步 入 新 奇 瑰 丽 的 时 代早 在 古 希 腊 和 古 中 国 时 期 , 极 限 思 想 就 在 数 学 家 的 理论 和 实 践 中 形 成 , 其 中 最 有 代 表 性 的 首 推 阿 基 米 德 的 穷 竭法 和 刘 徽 的 割 圆 术 ; 此 后 , 许 多 数 学 家 , 如 费 马 、 笛 卡 儿等 人 对 “ 切 线 问 题 ” 的 讨 论 、 对 函 数 极 值 的 研 究 等 等 , 似乎 都 贯 穿 一 条 线 , 是 为 了 适 应 力 学 、 天 文 学 以 及 一 系 列 物理 课 题 的 解 决 而 出 现 。 莱 布 尼 茨 前 些 年 与 惠 更 斯 交 往 中 ,已 经 预 感 到 或 早 或 晚 必 有 新 的 数 学 方 法 脱 颖 。莱 布 尼 茨 了 解 到 当 时 欧 洲 学 术 界 正 在 努 力 寻 求 某 种 普遍 性 理 论 方 法 , 以 处 理 诸 如 曲 线 的 切 线 、 速 度 与 时 间 和 距离 的 变 量 关 系 、 极 值 、 曲 线 及 其 围 成 的 面 积 或 扩 充 为 体 积等 类 型 的 问 题 。 他 在 研 究 曲 线 的 切 线 问 题 时 发 挥 自 己 的 思想 , 确 定 了 一 种 名 为 “ 纵 坐 标 差 分 法 ” 的 切 线 作 法 , 并 于1677 年 6 月 21 日 致 函 牛 顿 , 介 绍 这 种 方 法 。 这 时 , 他 研究 曲 线 的 切 线 问 题 已 经 获 得 相 当 可 观 的 进 展 , 对 于 那 时 欧洲 许 多 知 名 数 学 家 来 说 , 莱 布 尼 茨 远 远 地 走 在 别 人 前 面 ,是 绝 大 多 数 人 都 望 尘 莫 及 的 。那 么 , 求 曲 线 的 切 线 意 着 什 么 呢 ?就 这 个 问 题 本 身 来 说 , 无 论 从 数 学 或 物 理 学 方 面 看 ,它 都 是 极 为 重 要 的 , 例 如 作 透 镜 设 计 时 , 必 须 知 道 光 线 射入 透 镜 的 角 度 , 而 最 重 要 的 角 就 是 光 线 同 曲 线 的 法 线 间 的163