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当 时 , 天 下 的 田 地 面 积 要 进 行 普 查 测 量 , 就 联 系 到 计 算田 亩 的 问 题 。 对 于 三 角 形 面 积 , 历 来 的 传 统 方 法 是 按 照 《 九章 算 术 》 的 “ 圭 田 求 积 ” 的 公 式 计 算 , 这 公 式 就 是 人 们 熟 知 的“ 底 乘 高 的 一 半 ”。在 《 九 章 算 术 》 问 世 前 几 百 年 , 早 已 经 传 有 “ 过 直 线 外 一点 作 该 线 垂 线 ” 的 技 术 , 确 定 三 角 形 某 边 的 高 是 不 成 问 题的 。 但 是 , 在 实 践 中 逐 渐 发 现 “ 圭 田 求 积 ” 公 式 的 局 限 性 : 测量 “ 高 ” 的 操 作 过 程 繁 琐 , 又 容 易 出 现 较 大 误 差 ; 还 有 某 种 困难 条 件 , 譬 如 说 , 这 块 土 地 上 有 障 碍 物 ( 树 、 土 堆 、 水 坑 等 ) 无法 作 出 垂 线 , 就 不 能 得 到 三 角 形 面 积 。在 与 进 京 的 地 方 官 接 触 时 , 秦 九 韶 不 止 一 次 地 听 到 基层 人 员 诉 说 的 苦 衷 , 于 是 他 想 , 如 果 避 开 作 垂 线 的 工 序 , 径用 三 角 形 的 三 边 长 度 计 算 , 那 就 方 便 多 了 。 秦 九 韶 根 据 “ 三角 形 的 三 边 长 度 一 旦 确 定 , 三 角 形 本 身 也 就 确 定 ” 这 样 一 个原 理 , 经 过 悉 心 研 究 , 终 于 推 导 成 一 个 用 三 边 表 示 的 三 角 形面 积 计 算 公 式 , 写 进 《 数 书 九 章 》 的 第 三 章 中 。 他 拟 了 一 道著 名 的 《 沙 田 求 积 》 题 , 全 文 如 下 :“ 问 沙 田 一 段 , 其 小 斜 一 十 三 里 , 中 斜 一 十 四 里 , 大 斜 一十 五 里 。 里 法 三 百 步 。 欲 知 为 田 几 何 ?”秦 九 韶 将 三 角 形 的 三 边 分 别 称 为 小 斜 、 中 斜 和 大 斜 , 绘一 幅 图 ( 见 图 28); 说 明 1 里 等 于 300 步 , 求 得 答 案 为 “ 田 积三 百 一 十 五 顷 ”(1 顷 =100 亩 ,1 亩 =240 平 方 步 )。秦 九 韶 推 导 的 “ 三 斜 求 积 ” 公 式 后 来 被 称 为 “ 秦 九 韶 公80