SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

9. Dreiecke und Vierecke
(d) Für welche Werte von δ gäbe es überhaupt noch das Dreieck ABC? Begründe
deine Antwort.
Lösung: (a) • Zeichne den Halbkreis k1 über der Strecke [AB], die 6cm lang ist.
Trage im Punkt A den Winkel α = 35 ◦ an.
Der freie Schenkel von α schneidet k1 im Punkt C.
DerKreisk2 mitdemMittelpunktB unddemRadiusBC schneidetdieHalbgerade
[AB im Punkt D. Der Rest ist Formsache.
11.
k1
C
α
ϕ
δ
δ
A B D
M
• Der Punkt C liegt auf dem THALES-Kreis über [AB].
⇒ ∢ACB = 90 ◦ ⇒ ϕ = 90 ◦ −35 ◦ = 55 ◦ .
Weiter gilt: BD = BC ⇒ ∢BCD = δ
ϕ ist Außenwinkel am Dreieck BDC ⇒ 55 ◦ = 2·δ ⇒ δ = 27,5 ◦
(b) Nun kannst du rückwärts schließen:
Wenn δ = 40 ◦ ist, dann muss ϕ = 2·40 ◦ = 80 ◦ sein.
⇒ α = 90 ◦ −80 ◦ = 10 ◦
(c) Wäre δ = 59 ◦ , dann wäre nach dem Satz vom Außenwinkel
ϕ = 59 ◦ +59 ◦ = 118 ◦ . Weil das Dreieck ABC aber rechtwinklig ist, wäre in ihm die
Innenwinkelsumme von 180 ◦ überschritten.
(d) Der Winkel mit dem Maß ϕ muss stets ein spitzer Winkel bleiben, denn sonst bliebe
das Dreieck ABC nicht rechtwinklig.
Also: ϕ = 2·δ < 90 ◦ ⇒ δ < 45 ◦
Wenn δ = 0 ◦ wäre, dann würde ϕ = 0 ◦ folgen. Dann läge der Punkt C auf dem Punkt
A, und das Dreieck ABC wäre zusammen mit der ganzen Figur zur Strecke entartet.
Also gibt es das Dreieck ABC nur für 0 ◦ < δ < 45 ◦ .
Anmerkung: Es gibt dazu eine mit GEONExT erstellte dynamische Konstruktion:
08eh100.gxt
114
k2