SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4. Dreiecke und Vierecke
(a) Beschreibe den geometrischen Aufbau des Logos. Verwende die Buchstaben dazu.
(b) In der Figur kannst du achsensymmetrische Drachen und Trapeze entdecken.
Zähle sie jeweils mit Hilfe ihrer Eckpunkte auf.
(c) Berechne die Maße sämtlicher Innenwinkel des Sechsecks BCEFHI.
(d) Berechne das Winkelmaß ε.
(e) In der Figur ist ein gleichseitiges Dreieck mit dem Eckpunkt S verborgen. Zeichne
es farbig ein.
Lösung: (a) • Die Figur stellt ein Sechseck dar, das zwar achsensymmetrisch, aber nicht regelmäßig
ist.
• Im Zentrum der Figur steht das gleichseitige Dreieck ADG.
• Über den Seiten dieses Dreiecks sind die drei kongruenten Quadrate ABCD,
DEFG und GHIA errichtet.
• JedesQuadratwirddurchdiebeidenDiagonaleninvierkongruentegleichschenkligrechtwinklige
Dreiecke zerlegt, wobei jeweils zwei gegenüber liegende eingefärbt
sind.
• Die beiden benachbarten äußeren Eckpunkte von je zwei Quadraten sind durch
Strecken miteinander verbunden.
(b) Es gibt drei solche Trapeze: FHAD, IBDG und CEGA.
Es gibt drei solche Drachenvierecke: GAPD, ADQG und DGSA.
(c) Das Dreieck DCE ist gleichschenklig, denn die beiden Quadratseiten DC und DE
sind gleich lang.
∢EDC = ∢EDG+∢GDA+∢ADC = 90 ◦ +60 ◦ +90 ◦ = 240 ◦
⇒ ∢CDE = 360 ◦ −240 ◦ = 120 ◦
⇒ ∢ECD = (180 ◦ −120 ◦ ) : 2 = 30 ◦ ⇒ ∢ECB = 30 ◦ +90 ◦ = 120 ◦
Die Figur ist achsen- und drehsymmetrisch mit den Drehwinkeln 120 ◦ und 240 ◦ . Also
haben alle Innenwinkel dieses Logos das Maß 120 ◦ .
(d) Wie in der Lösung (c) schon gezeigt, gilt: ∢EDA = 90 ◦ + 60 ◦ = 150 ◦ und ED =
DA ⇒ ε = (180 ◦ −150 ◦ ) : 2 = 15 ◦ .
(e)
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