SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung: (a)
15.
(a) Zeichne die Figur für AQ = 4cm.
9. Dreiecke und Vierecke
(b) Zeige: Die Strecke [AP] halbiert den Winkel BAC nicht.
(c) Zeige: Die Dreiecke ARP und ACD sind kongruent.
(d) Begründe: α+β = 60 ◦ .
p
α∗
β
D
S
α
A Q R
B
(b) Wenn der Punkt P auf der Winkelhalbierenden läge, dann müssten die Abstände d1
und d2 zu den Schenkeln [AB] bzw. [AC] gleich lang sein.
Nun sind aber die Höhen d1 und d3 in den gleichseitigen Dreiecken RBP und SPC
gleich lang, weil diese Dreiecke kongruent sind. Offensichtlich gilt nun: d2 > d3 = d1.
Also liegt der Punkt P nicht auf der Halbierenden des Winkels BAC.
(c) Es gilt:
AR = AD ∧ RP = DC ∧ ∢PRA = ∢ADC = 120 ◦
⇒ ∆ARP ∼ = ∆ABP (sws)-Kongruenz.
(d) Weil ∆ARP ∼ = ∆ABP gilt, folgt α = α∗.
⇒ β +α = β +α∗ = 60 ◦
119
C
d3
d2
P
d1