SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

13.
7. Lineare Gleichungen und Ungleichungen
(b) Im Viereck ABCD gilt: α+β +75 ◦ +δ = 360 ◦ . (*)
β ist der Nebenwinkel von ε: β = 180 ◦ −ε. (1)
δ ist der Nebenwinkel von 2ε: δ = 180 ◦ −2ε. (2)
Wir ersetzen in der Gleichung (*) β durch 180 ◦ −ε und δ durch 180 ◦ −2ε.
Dann ergibt sich: α+180 ◦ −ε+75 ◦ +180 ◦ −2ε = 360 ◦ .
⇔ α−3ε = −75 ◦ ⇔ α = 3ε−75 ◦ .
Damit das Viereck ABCD existiert, muss α > 0 gelten:
⇔ 3ε−75 ◦ > 0 ⇔ ε > 25 ◦ .
Wenn du andererseits am Punkt D das Winkelmaß 2ε betrachtest, dann muss 2ε <
180 ◦ und damit ε < 90 ◦ gelten.
Insgesamt muss also 25 ◦ < ε < 90 ◦ gelten.
a a
(a) Um welches besondere Dreieck handelt es sich? Begründe deine Antwort.
c
(b) Fritz soll für a = 4,8cm und c = 10cm ein solches Dreieck konstruieren. Nach
einer Weile meint er: ” Aber das geht doch gar nicht!“
Begründe, dass Fritz Recht hat.
(c) Zeichne zwei verschiedene gleichschenklige Dreiecke, die jeweils einen Umfang
u = 12cm besitzen.
Lösung: (a) Das Dreieck ist gleichschenklig, denn zwei Seiten haben die gleiche Länge a.
(b) In jedem Dreieck müssen zwei Seiten länger als die dritte Seite sein:
Es müsste z.B. 4,8cm+4,8cm > 10cm werden. Diese Bedingung ist nicht erfüllt, also
gibt es kein solches Dreieck; Fritz hat Recht.
(c) Zum Beispiel:
a 4,5cm 3cm
c 3,7cm 3cm
u 2·4,5cm+3cm = 12cm 2·3cm+3cm = 12cm
Es gibt beliebig viele Lösungen.
14. Für alle Ungleichungen gilt: G = Q.
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