SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung: (a)
9. Dreiecke und Vierecke
Das gleichseitige Dreieck ABC liegt im Rechteck EBFD.
(a) Zeichne die Figur für AB = 4cm.
(b) Begründe: Die Dreiecke ABS, SBC und BFC sind kongruent.
(c) Welchen Anteil der Fläche des Rechtecks EBFD nimmt das Dreieck ABC ein?
Begründe.
D
E
S
C
A B
• Beginne mit dem Dreieck ABC und dem Mittelpunkt S der Seite [AC].
• Zeichne die Halbgerade [BS ein.
• Die Parallele zu [AB] durch den Punkt C schneidet diese Parallele im Punkt D.
Der Rest ist klar.
(b) ∆ABS ∼ = ∆SBC, weil BS eine Symmetrieachse ist.
Die beiden rechtwinkligen Dreicke SBC und BFC besitzen die Seite [BS] als gemeinsame
Hypotenuse. Außerdem gilt δ = 90 ◦ −60 ◦ = 30 ◦ = ∢CBS.
Also sind alle drei fraglichen Dreiecke kongruent.
(c) Es gilt: ∆DSC ∼ = ∆ABS.
Begründung: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke besitzen je einen 30 ◦ - und einen 60 ◦ -
Winkel (Z-Winkel). Neben den drei Innenwinkeln stimmen diese beiden Dreiecke noch
in den Kathetenlängen AS und SC überein.
Also: ∆DSC ∼ = ∆ABS.
Das Dreieck ABC ist in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt.
Das rechtwinklige Dreieck DBF besteht aus drei kongruenten Teildreiecken. Alle fünf
Teildreiecke sind kongruent.
Weil ∆DBF ∼ = ∆EBD gilt, ist das Rechteck EBFD ist damit in sechs dieser kongruenten
Teildreieck zerlegbar.
Damit gilt: A∆ABC
AEBFD
= 2 1
=
6 3
Oder:
Die Hilfsline [DA] veranschaulicht diesen Sachverhalt ohne weiteres:
123
δ
F