Visualisierung in der mathematischen Begriffsbildung - PBworks

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Zusammenfassung und Ausblick 7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK Die zentrale Fragestellung dieser Diplomarbeit war folgende: In welcher Weise können externe oder interne ikonische (bildliche) Darstellungen das Verständnis von mathematischen Begriffen oder Sachverhalten fördern? Ebenso sollte thematisiert werden, unter welchen Bedingungen sie Begriffsbildungsprozesse beschränken bzw. behindern. Nach der Einleitung wurden im zweiten Kapitel didaktische Prinzipien betrachtet, die den Einsatz von bildlichen Darstellungen im Mathematikunterricht ansprechen bzw. fordern. Nach Bruner lässt sich Wissen auf drei Arten, nämlich enaktiv, ikonisch und symbolisch, erschließen bzw. repräsentieren. Laut dem didaktischen E-I-S-Prinzip sollen alle drei Darstellungsformen ständig im Mathematikunterricht variiert und nach dem „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ zueinander in Verbindung gebracht werden. Beim operativen Prinzip, dessen geistiger Vater Jean Piaget ist, wird das Handeln, d.h. die enaktive Darstellungsform, ins Zentrum gestellt. Nach der Betrachtung relevanter didaktischer Prinzipien wurden im dritten Kapitel schulbezogene Richtlinien, wie der Lehrplan, die Bildungsstandards und die standardisierte schriftliche Reifeprüfung, thematisiert. Anschließend wurde im vierten Kapitel Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht behandelt. Hierbei wurden einige Gestaltgesetze beschrieben, die das Wahrnehmen von Darstellungen, im Besonderen von ikonischen, beeinflussen können. Bezugnehmend auf denkpsychologische Ansätze wurden im Anschluss Begriffe wie externe bzw. interne Repräsentationen, Aufbau mentaler Modelle und Bewegliches Denken geklärt. Ausgehend von diesen Ausführungen wurde die in dieser Diplomarbeit verwendete Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ dargestellt, die von Zimmermann und Cunningham formuliert wurde. Sie besagt: „Mathematical visualization is the process of forming images (mentally, or with pencil and paper, or with the aid of technology) and using such images effectively for mathematical discovery and understanding.“ Im fünften Kapitel wurde Begriffsbildung im Allgemeinen und wie sie durch Visualisierungen beeinflusst werden kann, betrachtet. Hierbei wurden Definitionen, Eigenschaften, Beziehungen und Sachverhalte als die relevanten Gesichtspunkte eines mathematischen Begriffs näher beschrieben. Darauf bezugnehmend wurden Vorteile und Nachteile von Visualisierungen in Begriffsbildungsprozessen erläutert. Es kristallisierten sich vor allem zwei Kernaspekte heraus, unter welchen Bedingungen ikonische Darstellungen zur effizienten Visualisierung von mathematischen Begriffen und Sachverhalten beitragen können: Zum einen werden Lernende in Begriffsbildungsprozessen von ikonisch repräsentierten Prototypen, die einen Allgemeinbegriff oder einen allgemeinen Sachverhalt darstellen sollen, Barbara Kimeswenger 89
Zusammenfassung und Ausblick beeinflusst. Eine Untersuchung von Hershkowitz zeigte, dass sich Lernende sehr stark an externen Bezügen einer ikonischen Darstellung eines Begriffs bzw. Sachverhaltes orientieren, wie etwa an der Parallelität zwischen einer Dreiecksseite und dem Blattrand. Relevanter sind meistens aber interne Bezüge, wie zum Beispiel Seiten-, Winkel-, Diagonalen- oder Symmetrieeigenschaften. So zeigen Versuchspersonen nach Hershkowitz Schwierigkeiten, ein gleichschenkeliges Dreieck auch als solches zu erkennen, wenn sich ihre Basis nicht parallel zum unteren Blattrand befindet. Fakt ist, dass es egal sein soll, in welcher Lage bzw. Orientierung dieses dargestellt wird. Schülerinnen und Schüler sollen immer ein gleichschenkeliges Dreieck auch als solches erkennen, unabhängig von der Wahl des Prototypen. Daher lautet meine erste Forderung für effiziente Visualisierung mathematischer Begriffe und Sachverhalte, dass mit ikonischen Darstellungen flexibel und beweglich umgegangen werden soll. Das bedeutet, Schülerinnen und Schüler sollen bildlich dargestellte Prototypen nicht als starre Objekte ansehen, die unveränderbar sind, sondern als flexible Objekte, die im Kopf, auf dem Papier oder am Computer beweglich gemacht werden können. Meine zweite Forderung für effiziente Visualisierung mathematischer Begriffe und Sachverhalte besagt, dass eine Verbindung zwischen ikonischen und anderen Darstellungsformen hinsichtlich des „Prinzips der Interaktion der Darstellungsformen“ hergestellt werden soll. Im sechsten Kapitel wurde die Frage thematisiert, welche Vorteile in Bezug auf die beschriebenen Forderungen technikunterstützte Visualisierungen in Begriffsbildungsprozessen haben können. Vorerst wurde beleuchtet, wie der Aufbau bzw. die Gestaltung von E-Learning-Materialien aussehen kann bzw. soll. Anschließend wurde behandelt, welche Vorteile technikunterstützte Visualisierungen verglichen mit statischen ikonischen Darstellungen haben, die beispielsweise auf Tafeln skizziert oder in Schulbüchern gezeigt werden. Ein großes Plus des Computereinsatzes ist, dass per Knopfdruck verschiedene Darstellungen eines mathematischen Begriffs bzw. Sachverhaltes erzeugt werden können. Es können Aspekte, wie etwa ein Parameter, eine Eigenschaft oder die Darstellungsform eines mathematischen Begriffs bzw. Sachverhaltes Schritt für Schritt variiert werden. Durch eine handlungsorientierte Herangehensweise können mittels systematischer Variation operative Begriffe gebildet werden. Was bedeutet das konkret beim Einsatz von dynamischer Geometrie- bzw. Mathematiksoftware? Zum einen ermöglichen besonders dynamische Visualisierungen, erstellt mit DGS, mit Hilfe des Zugmodus und des Einsatzes von Schiebereglern mathematische Begriffe oder Sachverhalte nicht auf einen einzigen prototypischen Schnappschuss beschränken zu müssen, sondern diese in vielfältiger Weise systematisch erforschen zu können. Durch das Experimentieren mit variierbaren ikonischen Darstellungen können Invarianten und anschließend charakteristische Eigenschaften und vor allem Beziehungen erkannt werden. Somit kann Barbara Kimeswenger 90
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Technisch-Naturwissenschaftliche Fa
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DANKSAGUNG An dieser Stelle möchte
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Einleitung Im dritten Kapitel wird
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Seite 117: Vollrath, H. -J. (1978). Klassifika
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