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2 HAUSAUFGABEN 129
2.47 48. Hausaufgabe
2.47.1 Auflösung der Differentialgleichung fürs Mechanische
Dx + meff¨x = 0;
Ableiten nach der Zeit bringt:
...
D ˙x + meff x = 0;
Da die Sinus-Funktion nach zweimaligem Ableiten wieder zum Sinus
führt (nur mit umgekehrten Vorzeichen), vermuten wir:
˙x = ˆ˙x · sin ωt;
Ableiten bestätigt unsere Vermutung:
¨x = ˆ˙xω · cos ωt;
...
x = −ˆ˙xω 2 · sin ωt;
Einsetzen bringt dann:
Dˆ˙x · sin ωt − meff ˆ˙xω 2 · sin ωt = 0;
Kürzen von ˆ˙x und sin ωt führt zu:
D − meffω 2 = 0;
Das Kürzen ist deswegen zulässig, weil keine Lösungen verloren
gehen, wenn ˆ˙x oder sin ωt 0 sind: in diesen Fällen ist die Gleichung
immer erfüllt.
ω errechnet sich damit zu
D
|ω| = ;
meff
Nimmt man für meff die Spuleninduktivität L und statt D 1
C erhält
man die bekannte Gleichung für den elektromagnetischen Schwingkreis;
unsere Herleitung ist also korrekt.
(Benötigte Zeit: 17 min) 29.01.2006
2.48 49. Hausaufgabe
2.48.1 Zusammenfassung der Stunde: Differentialgleichungen
Differentialgleichungen unterscheiden sich von ” normalen“ Gleichungen
darin, dass man nicht nach bestimmten Zahlen, sondern
nach bestimmten Funktionen sucht, welche eine Gleichung
erfüllen. Beispiel: