Selbstorganisation M11b.pdf

5.2.1 Die Modellierung von Diffusionsprozessen mit der Master-Gleichung
Gemäß der Annahme von Informationsdefiziten und nichtlinearen (sozialen) Abhängigkeiten
wird die Diffusion substitutiver Innovationen als nichtlinearer stochastischer Prozess modelliert.
Die potentiellen Anwender haben homogene Präferenzen. Die Übergänge von Nichtanwendern
zu Innovation I bzw. zu Innovation II werden (ob der Entscheidung unter Unsicherheit
wegen) wahrscheinlichkeitstheoretisch definiert. Analytisch werden sie zum einen über eine
unabhängige Komponente, den Basisnutzen (bzw. die Basisrenten) , zum anderen über eine
vom Verhalten der anderen abhängige Komponente, nämlich den Nutzenzustrom, der sich
aus der Existenz positiver externer Anwendererträge (im folgenden: Netzwerknutzen) ergibt,
bestimmt. Anfangs geht man von einer unendlichen Marktgröße aus und davon, dass die
Wahlvorgänge sequentiell in der Zeit stattfinden, also in jeder der unendlich vielen Perioden t
ein neuer Anwender an den Markt kommt und sich irreversibel für eine der beiden Innovationen
entscheidet.
Gäbe es keine Externalitäten, aber Unterschiede in den Basisrenten, die sich aus der Differenz
zwischen dem Basisnutzen und dem Systempreis ergeben, würden sich die Marktanteile
nach anfänglichen Fluktuationen mit Sicherheit nach dem Gesetz der großen Zahl gemäß
dem Verhältnis der Basisrenten zueinander aufteilen.
Existieren Anwenderexternalitäten, so wird jeder neue Anwender, da er um die positive Abhängigkeit
seines Surplus von der Gesamtnutzerzahl des von ihm gewählten Gutes weiß, jene
Innovation übernehmen, die nach seiner subjektiven Einschätzung in der Konkurrenz der
Anwender vorne liegt, womit die Wahrscheinlichkeit, dass der n-te Anwender die Innovation I
bzw.II übernimmt, umso höher sein wird, je größer ihr tatsächlicher, ihm aber nicht mit Sicherheit
bekannter Marktanteil [y(t) bzw. z(t)] ist. Auch bei reinem Vorliegen von Netzwerkexternalitäten
(a=b) wird sich nach einer anfänglichen Phase der Fluktuations-Dominanz stets
eine bestimmte Marktaufteilung stabilisieren. Welche, das hängt von der konkreten Spezifizierung
der Wahlfunktion ab, welche die Beziehung zwischen den Marktanteilen und den Wahlwahrscheinlichkeiten
festlegt.
Ist die Beziehung linear, z.B. mit p[y(t)]=y(t), so ist speziell bei fehlenden first-mover-Vorteilen
für eine der Innovationen (Y(1)=Z(1)=1 als absolute Anzahl der Anwender) das Diffusionsergebnis
infolge der positiven Anwendererträge vollständig unbestimmt; außerdem bleibt es
praktisch immer bei einer Koexistenz beider Systeme. Dieser Prozess wird auch als Standard-Polyaprozess
bezeichnet 259 .
259 Mit solchen Polya-Prozessen beschäftigte sich insbesondere Arthur (1987,1989) und baute sein "general framework" (Arthur (1989,S 123ff))
auf ihnen auf Sein anschaulichstes Beispiel waren wohl die Urnenmodelle In einer Urne mit endlicher Kapazität befindet sich eine rote und eine
blaue Kugel Nun wählt man blind und handelt nach dem Motto 'Ziehe ich eine blaue Kugel, so lege ich zwei blaue zurück, ziehe ich eine rote,
so lege ich zwei "tote zurück ' Dieser Prozess wird andauernd wiederholt " Obviously this process has increments that are path-dependentat
any time the probability (hat the next ball added is red equals the proportion red" ( Arthur (1987,5? 296)|, womit genau die obige Abhängigkeit
der Wahrscheinlichkeit von den Marktanteilen wiedergegeben ist p(y(t)=y(t) Die Trage ist, ob der Anteil durch diese sich ändernde Wahrscheinlichkeit
unbestimmbar zwischen 0 und 1 wandern wird, oder sich bei einem festen Anteil fest locken wird Er tut letzteres Der Anteil
"tends to a limit X, and with probability one Rut X IS a random variable uniformly distributed between 0 and 1 "(Arthur, 1987,S 297) Genau
dies gibt die Abbildung wieder
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