Grundlagen der Spektrumanalyse.pdf - Ing. H. Heuermann

Grundlagen der Spektrumanalyse
Aufbau und Bedienelemente eines Spektrumanalysators
Die Fourier-Transformation erfolgt in der Praxis mit Hilfe von digitaler
Signalverarbeitung, d.h. das zu analysierende Signal muß zunächst mit Hilfe
eines Analog-Digital-Wandlers abgetastet und in der Amplitude quantisiert
werden. Durch die Abtastung wird aus dem kontinuierlichen Eingangssignal
ein zeitdiskretes Signal, wodurch Information über den
Zeitverlauf verloren geht. Die Bandbreite des Eingangssignals muß daher
begrenzt sein, da andernfalls durch die Abtastung die Eindeutigkeit aufgrund
von Aliasing-Effekten verloren geht (siehe Bild 3-1). Nach dem Abtasttheorem
von Shannon muß die Abtastfrequenz f A mindestens doppelt so
hoch wie die Bandbreite B e des Eingangssignals sein. Es gilt:
1
ƒ A ≥ 2 · B e und ƒ A = (Gl. 3-1)
A
A
b)
f e,max
f e,max < f A
–– 2
f
f e,max > f A
–––
2
A
A
f A
–––
2
f A
–––
Aliasing
2
f e,max f A 2f A 3f A
f
mit f A Abtastfrequenz, in Hz
B e Signalbandbreite, in Hz
T A Abtastperiodendauer, in s
c)
f e,max > f A –––
2
f
f A f e,max f A 2f A 3f A
–––
2
Bild 3-1 Abtastung eines Tiefpaßsignals mit der Abtastfrequenz f A
a), b) f e,max < f A /2
c) f e,max > f A /2, daher keine Eindeutigkeit aufgrund von Aliasing
f
Für die Fourier-Transformation wird nur ein Ausschnitt des Signals betrachtet,
d.h. es wird nur eine begrenzte Anzahl N von Abtastwerten zur
Berechnung verwendet. Man nennt dies Fensterung. Das Eingangssignal
(siehe Bild 3-2a) wird hierzu vor oder nach der Abtastung im Zeitbereich
mit einer bestimmten Fensterfunktion multipliziert. Bei dem Beispiel in
Bild 3-2 wird dabei ein Rechteckfenster verwendet (Bild 3-2b), das Ergebnis
der Multiplikation ist in Bild 3-2c dargestellt.
Bei der Berechnung des Signalspektrums aus den Abtastwerten des Signals
im Zeitbereich spricht man von diskreter Fourier-Transformation
(DFT). Aus Gl. 2-2 wird somit
A
Abtastung mit
A
f A
–––
2
T A
N–1
Bei der Abtastung von tiefpaßgefilterten Signalen (sogenannten Tiefpaßsignalen)
wird die minimal erforderliche Abtastfrequenz durch die maximale
Signalfrequenz f e,max bestimmt. Aus Gl. 3-1 wird dann:
ƒ A ≥ 2 · ƒ e,max (Gl. 3-2)
Ist f A = 2 · f e,max , so kann das Signal bei ungünstiger Lage der Abtastzeitpunkte
unter Umständen nicht mehr aus den Abtastwerten rekonstruiert werden.
Ebenso wäre zur Bandbegrenzung ein Tiefpaß mit unendlich hoher Flankensteilheit
erforderlich. In der Praxis wird daher mit Abtastfrequenzen, die
deutlich größer als 2 · f e,max sind, gearbeitet.
X(k) = Σ x (nT A ) · e –j2πkn / N (Gl. 3-3)
n=0
a)
f e
f
Abtastfrequenz f A
f e f A –f e f A f A +f e 2f A 3f A
f
mit k Index der diskreten Auswertefrequenzen, mit k = 0, 1, 2 …
n Index der Abtastwerte
x (nT A ) Abtastwert zum Zeitpunkt n · T A , mit n = 0, 1, 2 …
N Länge der DFT, d.h. Gesamtanzahl der Abtastwerte, die
zur Berechnung der Fourier-Transformation verwendet
werden
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