Grundlagen der Spektrumanalyse.pdf - Ing. H. Heuermann

Grundlagen der Spektrumanalyse
Signale
2 SIGNALE
2.1 Signaldarstellung im Zeitbereich
Im Zeitbereich wird die Amplitude elektrischer Signale über der Zeit aufgetragen
– eine Darstellung, wie man sie beim Oszilloskop findet. Zur Veranschaulichung
einiger Vorgänge ist es jedoch günstiger, das Signal durch
einen komplexen Drehzeiger zu repräsentieren. Der Zusammenhang zwischen
beiden Arten der Darstellung ist in Bild 2-1 anhand eines einfachen
Sinussignals dargestellt.
Bild 2-1 Darstellungen eines Sinussignals durch Projektion eines komplexen
Drehzeigers auf die imaginäre Achse
Die über der Zeitachse aufgetragene Amplitude entspricht der Projektion
des Zeigers auf die imaginäre Achse (jIm). Für die Kreisfrequenz, mit der
der Drehzeiger rotiert, gilt:
ω 0 = 2 · π · ƒ 0 (Gl. 2-1)
mit ω 0 Kreisfrequenz, in s –1
f 0
jIm
A
ω 0 t
0.4
0.2
0
Re
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0,5 T 0 T 0 1,5 T 0 2 T 0 t
Signalfrequenz, in Hz
1
0.8
0.6
Ein sinusförmiges Signal mit x(t) = A · sin(2 · π · ƒ 0 · t) läßt sich somit auch
durch x(t) = A · Im{e j·2π·ƒ 0·t } beschreiben.
A
0
2.2 Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich
Elektrische Signale können sowohl im Zeitbereich, mit Hilfe eines Oszilloskops,
als auch im Frequenzbereich, mit Hilfe eines Spektrumanalysators,
betrachtet werden (siehe Bild 2-2).
f
Bild 2-2 Betrachtung von Signalen im Zeit-und Frequenzbereich
Beide Darstellungsarten sind durch die Fourier-Transformation (gekennzeichnet
durch F) miteinander verknüpft, d.h. jedes im Zeitbereich veränderliche
Signal weist ein charakteristisches Frequenzspektrum auf. Es gilt:
X ƒ (ƒ) = F{x(t)} =∫ x(t) · e –j2πƒt dt (Gl. 2-2)
bzw.
A
0
Zeitbereich
Frequenzbereich
−∞
+∞
t
+∞
A
x(t) = F –1 {X ƒ (ƒ)} =∫ X ƒ (ƒ) · e j2πƒt dƒ (Gl. 2-3)
−∞
mit F{x(t)} Fourier-Transformation von x(t)
F –1 {X(f)} inverse Fourier-Transformation von X(f)
x(t)
Signal im Zeitbereich
X f (f)
komplexes Signal im Frequenzbereich
t
f
Zur Veranschaulichung dieses Zusammenhangs sollen zunächst nur
Signale mit periodischem Verhalten im Zeitbereich betrachtet werden.
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