Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...
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Geometrie 99<br />
Über Punktmengen mit vielen homothetischen Teilmengen<br />
PETER BRASS<br />
Institut für Informatik, FU Berlin<br />
Takustraße 9, D-14195 Berlin<br />
brass@inf.fu-berlin.de<br />
http://www.inf.fu-berlin.de/inst/ag-ti/members/brass.de.html<br />
Punktmengen, die viele Teilmengen haben, welche untereinander alle ‘gleich aussehen’,<br />
führen je nach der Definition von ‘gleich aussehen’ (etwa kongruent sein,<br />
ähnlich sein) zu verschiedenen interessanten Problemen der kombinatorischen<br />
Geometrie. In diesem Vortrag werde ich ‘gleich aussehen’ als homothetische Kopien<br />
voneinander sein interpretieren: gegeben eine Menge A im d-dimensionalen<br />
Raum, wie viel zu A homothetische Teilmengen kann es in einer n-elementigen<br />
Menge höchstens geben? Ich zeige eine obere O� Schranke n1� � 1� d� , die in jeder �<br />
Dimension für viele Mengen A scharf ist, aber vermutlich nicht für alle: denn die<br />
untere Schranke Ω� n 1�<br />
von einer ‘algebraischen Dimension’ k, der Dimension des von A � A über dem<br />
Körper der algebraischen Zahlen aufgespannten Vektorraumes ab.<br />
� 1� k� � hängt nicht von der ‘reellen Dimension’ d, sondern<br />
When are inflation-species linearly (� R)?�<br />
repetitive<br />
LUDWIG DANZER<br />
Math. Inst. d. <strong>Univ</strong>. Dortmund, D-44221 Dortmund<br />
danzer@math.uni-dortmund<br />
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Terms: Tiles Tk, protoset , cluster , r-cluster (fits into a ball of radius r), species<br />
(family of -tilings invariant under isometries), inflation (I), a species<br />
defined by inflation, (IM) inflation species with primitive inflation matrix.<br />
Properties of species (not only of individual tilings): Locally finite complexity<br />
(LFC) := up to isometries there are only finitely many 2-element-clusters; repetitive<br />
(weakly, linearly): (wR), (R), R)<br />
Statements:<br />
(1) (LFC) for each r there are only finitely many r-clusters<br />
(2) ((wR) and (LFC)) (R)<br />
(3)<br />
unique)<br />
: and (in general is not<br />
(4) M primitive n : Mn � �<br />
��� ���<br />
���<br />
(� ���<br />
(IM) �<br />
(R) (cf �<br />
� ��� ��� (2))<br />
���<br />
0; hence is minimal<br />
(5) (IM) (wR); ((I) and (wR)) (IM)<br />
(6) ((IM) and (LFC)) (R) (combination of (5) and (2))<br />
(7) ((I) and (R))<br />
On the other hand:<br />
R) (no more assumptions needed!)<br />
(8) (IM) (LFC) and hence (wR) (LFC) (cf (5)) and
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