Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

Diskrete Mathematik, Algorithmen 89
On Covering � -Grid Points by Rectangles
STEFAN PORSCHEN
Institut für Informatik, Fachgruppe Mathematik/Informatik,
Universität zu Köln, Pohligstr. 1, D-50969 Köln
porschen@informatik.uni-koeln.de
A problem of combinatorial geometry is discussed: Cover a finite set of points
lying on an integer grid in the Euclidean plane by regular rectangles such that the
total area, circumference and number of rectangles used is minimized. This problem
seems to be NP-hard, which is surely the case for related problems concerning
covering points arbitrarily distributed in the plane. Treating the case of minimal
rectangle side lengths k � λ (grid constant), we propose an exact deterministic algorithm
based on set theoretic dynamic programming, which then is improved by
exploiting the rectangular and underlying grid structure. We also discuss a variant
given by a further parameter p bounding the maximal possible covering cardinality.
For this, we are able to find a time bound by a polynomial of degree O� p� .
Generalizations to arbitrary values of k and arbitrary (finite) space dimensions
are possible. (A version of this talk has been presented at the Cologne-Twente-
Workshop 2001, an extended abstract of which may be found as Electronic Notes
on Discrete Mathematics (ENDM, Elsevier, Vol.8, 2001).)
Die Komplexität des Auffindens kompatibler Wege in Graphen
STEFAN SZEIDER
Institut für Diskrete Mathematik, Österreichische Akademie der Wissenschaften
stefan.szeider@oeaw.ac.at
http://goedel.dismat.oeaw.ac.at/
Ein Durchgang in einem Graphen ist ein Paar inzidenter Kanten. Wir betrachten
Graphen G zu denen eine Menge TG “erlaubter” Durchgänge vorgegeben ist. Ein
Weg W in G (bzw. ein 2-Faktor F von G) heißt kompatibel, falls alle Paare inzidenter
Kanten von W (bzw. von F) erlaubte Durchgänge bilden. In [1] wurde die
algorithmische Komplexität des Auffindens kompatiber 2-Faktoren von Graphen
untersucht. Wir untersuchen das Problem, ob zwischen zwei gegeben Knoten
eines Graphen ein kompatibler Weg existiert. Wir bestimmen lokale Eigenschaften
erlaubter Durchgänge, die eine Lösung des Problems in polynomieller Zeit
ermöglichen, und zeigen, daß jede Abschwächung dieser Eigenschaften zu ��� -
vollständigen Problemen führt.
[1] J. Kratochvíl, S. Poljak. Compatible 2-factors; Discrete Applied Mathematics
36, 253–266, 1992.