Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

Geometrie 105
Für konvexe Körper mit differenzierbarer Oberfläche bestimmen wir für n � ∞
das asymptotische Verhalten der Differenz Vi� K� � � n � Vi� und vergleichen dieses
mit der Approximation des konvexen Körpers durch den sogenannten ” Schwimmkörper“.
Analoge Untersuchungen werden auch für den Fall durchgeführt, daß die zufälligen
Punkte am Rand des konvexen Körpers nach einer vorgegebenen Verteilung
gewählt werden.
Zerlegungsgleichheit topologischer Scheiben – Die Quadratur
des Kreises
CHRISTIAN RICHTER
Friedrich-Schiller-Universität Jena, Mathematisches Institut, D-07740 Jena
richterc@minet.uni-jena.de
Kann man eine Kreisscheibe K und ein dazu flächengleiches Quadrat Q derart
in endlich viele Teilmengen K � K1 � ����� � Kn bzw. Q � Q1 � ����� � Qn zerlegen,
daß jeweils Ki durch eine geeignete euklidische Isometrie auf Qi abbildbar ist,
1 � i � n? Diesem Problem von A. Tarski nähern sich die Autoren von [1] unter
Benutzung eines elementaren Zerlegungsbegriffs: Als Zerlegungsteile Ki bzw. Qi
sind nur topologische Scheiben zugelassen. Die Scheiben einer Zerlegung dürfen
sich in Randpunkten schneiden, aber keine inneren Punkte gemeinsam haben. Unter
diesen Bedingungen wird die o.g. Frage negativ beantwortet.
Wir modifizieren das Problem und erhalten sowohl positive als auch negative Antworten,
indem wir anstelle der Isometrien äquiaffine Abbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen
oder allgemeine affine Abbildungen betrachten. Außerdem fragen
wir nach Zerlegungen, bei denen die verwendeten topologischen Scheiben zusätzlich
gewisse Glattheitsbedingungen (rektifizierbarer Rand, stückweise differenzierbarer
Rand) erfüllen. Darüber hinaus studieren wir nicht nur die Zerlegungsgleichheit
von Kreis und Quadrat, sondern die Zerlegungsgleichheit beliebiger
topologischer Scheiben.
[1] L. Dubins, M.W. Hirsch, J. Karush: Scissor congruence, Israel J. Math. 1
(1963), 239-247.
[2] A. Tarski: Probléme 38, Fund. Math. 7 (1925), 381.