Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

174 Partielle Differentialgleichungen, Variationsmethoden
λ � 0 ein Kopplungsfaktor und ˙Wε eine durch Faltung geglättete Version von Gauß
schem weiß en Rauschen ˙W. Für hinreichend kleine λ (unabhängig von ε) gibt
es stets eine fast sicher eindeutige Lösung Uε mit glatten Pfaden. Wir vergleichen
diese mit den Lösungen Vε des freien Problems
LVε � ˙Wε auf D �
Vε� ∂D � 0 �
welche für ε � 0 gegen eine verallgemeinerte Lösung V der Gleichung LV � ˙W
konvergieren. Für n � 3 ist dabei V ein Prozess mit stetigen Pfaden, für n � 4 ein
verallgemeinerter stochastischer Prozess.
Ziel des Vortrags ist der Nachweis des Linearisierungseffektes: Für eine groß e
Klasse von nichtlinearen Funktionen F (nämlich aller beschränkten Funktionen,
deren Fouriertransformierte in 0 keine Masse besitzt) konvergiert im Falle n � 4
die Differenz Uε � Vε im Quadratmittel gegen Null. Die Lösungen der nichtlinearen
Gleichung verhalten sich also wie jene der linearen Gleichung. Der Beweis
beruht auf einem Lemma der Autoren über Funktionen mit in Null masseloser
Fouriertransformierten und Abschätzungen der Varianz und Kovarianz der freien
Lösung Vε� x��� x � D, für ε � 0. Der Linearisierungseffekt wurde auch bei
semilinearen hyperbolischen, parabolischen und Schrödinger-Gleichungen nachgewiesen.
Stabilität von Galaxien
GERHARD REIN
Universität Wien, Institut für Mathematik
Strudlhofgasse 4, A-1090 Wien
rein@rz.mathematik.uni-muenchen.de
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/personen/rein.html
In der Astrophysik werden Teilchenensembles, die über Gravitationskräfte wechselwirken,
wie z. B. Galaxien, durch das Vlasov-Poisson-System modelliert, ein
nichtlineares System partieller Differentialgleichungen, das die zeitliche Entwicklung
der Teilchendichte im Phasenraum beschreibt.
Ein klassisches Problem der Astrophysik ist die Frage, welche stationären Zustände
dieses Systems stabil sind. Im Vortrag wird gezeigt, wie durch Minimierung
eines geeigneten Energie-Casimir-Funktionals stationäre Zustände gewonnen
werden, die gegen “allgemeine” Störungen nichtlinear stabil sind. Wesentliches
Hilfsmittel dabei ist ein geeignetes “concentration-compactness principle”.