Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

90 Diskrete Mathematik, Algorithmen
Oszillationen bei der Irrfahrt auf dem Sierpinski-Graphen und
Funktionalgleichungen
ELMAR TEUFL
Institut für Mathematik, Technische Universität Graz
Steyrergasse 30/III, 8010 Graz
teufl@finanz.math.tu-graz.ac.at
Es sei G der unendliche Sierpinski-Graph und Xn die einfache Irrfahrt mit Start
im Ursprung auf G. Wir studieren das Verhalten des Entfernungsprozesses Yn �
0� Xn� von Xn zum Ursprung bezüglich der Graphen-Metrik d. Barlow und
d�
andere haben obere und untere Abschaetzungen des Erwartungswertes von Yn berechnet,
welche das gleiche asymptotische Verhalten haben. Wir bestimmen das
genau asymptotische Verhalten des Erwartungswertes und zeigen so die Existenz
von Oszillationen. Bei den Untersuchung treten Funktionalgleichungen auf, die
in vereinfachter Form schon von Odlyzko, de Bruijn und Grabner und Woess auf
ihr asymptotisches Verhalten hin studiert wurden.
Zur Komplexität der Diffie-Hellman Abbildung und des
diskreten Logarithmus
ARNE WINTERHOF
Institut für Diskrete Mathematik, Österreichische Akademie der Wissenschaften
Sonnenfelsgasse 19, A-1010 Wien
arne.winterhof@oeaw.ac.at
http://www.dismat.oeaw.ac.at/Winterhof.shtml
Sei q eine Primzahlpotenz, Fq der endliche Körper der Ordnung q und γ ein primitives
Element von Fq. Das Diffie-Hellman Problem in Fq ist folgendermaßen
definiert: Finde zu zwei Elementen γ x � γ y aus Fq das Element γ xy ohne x und y zu
kennen. Die Diffie-Hellman Abbildung wird durch
F � γ x � γ y ��� γ xy
für 0 � x� y � q � 2
definiert. Um das Diffie-Hellman Kryptosystem zu brechen, würde es reichen
ein einfaches Polynom � Fq�U� F � V mit � F γx γ � y γ ��� xy für alle � x� y� Paare einer
großen Teilmenge � 0� ����� � von � 2� q 2 zu haben. Für zahlreiche Teilmengen zeigen
wir, dass solch ein Polynom großen Grad haben muss.
Der diskrete Logarithmus (oder Index) eines Elementes � � 0 � ξ Fq zur Basis γ,
bezeichnet mit indγ� ξ� , ist die eindeutige ganze Zahl l mit 0 � l � q � 2, so dass
ξ � γ l . Offensichtlich hängt die Unangreifbarkeit der Diffie-Hellman Abbildung
von der Unangreifbarkeit des diskreten Logarithmus ab. Wir untersuchen Darstellungen
des diskreten Logarithmus durch lineare Rekursionsfolgen und leiten
untere Schranken für die lineare Komplexität dieser Folgen her.