Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

78 Zahlentheorie
Die Verteilung von Teilfolgen � nα� von
REINHARD WINKLER
(gemeinsam mit Martin Goldstern, Jörg Schmeling)
TU Wien, Institut für Algebra und Computermathematik
Wiedner Hauptstraße 8-10, A-1040 Wien
reinhard.winkler@oeaw.ac.at
http://www.dismat.oeaw.ac.at/Winkler.shtml
Bekanntlich sind für irrationales α die gebrochenen Anteile von nα gleichverteilt
nach dem Lebesguemaß λ, eingeschränkt auf das � 0� 1� Einheitsintervall . Beim
Übergang zu geeigneten Teilfolgen kann man beliebiges Verteilungsverhalten
erzwingen (vgl. [2]). Das soll bedeuten, dass nicht nur jedes Wahrscheinlichkeitsmaß
als Verteilung erhalten werden kann, sondern dass sogar eine beliebige
Menge M von Wahrscheinlichkeitsmaßen als Menge der Häufungsmaße realisiert
werden kann, sofern nur M nichtleer, abgeschlossen und zusammenhängend ist
(vgl. [1]).
Der Vortrag geht mit topologischen Methoden wie dem Satz von Kuratowski-
Ulam der Frage nach, welche Eigenschaften von aufsteigenden Folgen natürlicher
Zahlen � n1 ������� n2 für das Verteilungsverhalten � nkα� von entscheidend sind,
wobei die Situation für im Baireschen Sinne typisches α untersucht wird. Es geht
dabei vor allem darum, welche Möglichkeiten zwischen den Extremfällen � nk k
(Gleichverteilung) und extrem rasch wachsenden � n1 ������� n2 (Maldistribution)
auftreten können.
[1] Reinhard Winkler. On the distribution behaviour of sequences. Math. Nachr.
186 (1997), 303-312.
[2] Martin Goldstern, Jörg Schmeling und Reinhard Winkler. Metric, fractal
dimensional and Baire results on the distribution of sequences. Math. Nachr.
219 (2000), 97-108.
Diophantische Evolution
GISBERT WÜSTHOLZ
ETH Zürich
gisbert.wuestholz@math.ethz.ch
In unserem Vortrag geben wir einen Bericht über die spektakulären Entwicklungen
der Zahlentheorie im 20. Jhdt. Wir schließen ein einen Ausblick auf aufregende
Probleme, die die Theorie grundlegend verändern würden.