Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

162 Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik
Der hydrodynamische Limes eines deterministischen
Teilchensystems mit Erhaltung von Masse und Impuls
MICHAEL MÜRMANN
Institut für Angewandte Mathematik, Universität Heidelberg
mmm@math.uni-heidelberg.de
Mit dem Ziel, die Gleichungen der Hydrodynamik als Grenzdynamik von mikroskopischen
Vielteilchensystemen abzuleiten, wurden, vor allem angeregt durch
[2], verschiedene Modelle untersucht.
Bei den meisten handelt es sich um stochastische Entwicklungen, da der stochastische
Anteil glättend wirkt. Deterministische Entwicklungen wurden in [3] und
[5] behandelt. Diese Modelle haben eine Erhaltungsgröße, die Teilchenzahl bzw.
Masse, deren makroskopische Dynamik im hydrodynamischen Limes unter diffusiver
Skalierung abgeleitet wird.
Stochastische Gittersysteme mit Erhaltung von Masse und Impuls wurden in
[1] und [4] untersucht. Ihre Dynamik besteht aus einem Ausschlußprozeß mit
Stößen, die Geschwindigkeiten austauschen. Im inkompressiblen Limes erhält
man die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen.
In meinem Vortrag werde ich ein deterministisches Teilchensystem mit nächster
Nachbar Wechselwirkung und einer zusätzlichen geschwindigkeitsabhängigen
Kraft, die lokale Glättung der Geschwindigkeiten bewirkt, vorstellen. Dieses
System hat zwei Erhaltungsgrößen, Masse und Impuls. Ihre Grenzdynamik unter
Euler Skalierung ist durch die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit
dichteabhängiger Viskosität gegeben. In Ermangelung eines geeigneten Eindeutigkeitssatzes
für die Lösung folgt mit Hilfe von Kompaktheitseigenschaften die
Konvergenz von Teilfolgen gegen eine Lösung.
[1] Esposito, R., Marra, R., Yau, H.T.: Navier-Stokes Equations for Stochastic
Lattice Gases. Commun. Math. Phys. 182, 395-456 (1996)
[2] Guo, M.Z., Papanicolaou, G.C., Varadhan, S.R.S.: Nonlinear Diffusion Limit
for a System with Nearest Neighbor Interactions. Commun. Math. Phys.
118, 31-59 (1988)
[3] Mürmann, M.G.: The Hydrodynamic Limit of a One-Dimensional Nearest
Neighbor Gradient System. J. Stat. Phys. 48, 769-788 (1987)
[4] Quastel, J., Yau, H.T.: Lattice Gases, Large Deviations and the Incompressible
Navier-Stokes Equation. Ann. Math. 148 , 51-108 (1998)
[5] Uchiyama, K.: Scaling Limit for a Mechanical System of Interacting Particles.
Commun. Math. Phys. 177, 103-128 (1996)