Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

Zahlentheorie 73
�
(hierbei z� bedeutet P4 ein Polynom vom Grad 4).
Durch Kombination von drei verschiedenen Resultaten aus der Theorie höher-
dimensionaler Exponentialsummen wird für das Restglied Δ � die verbesserte
x�
4 3k�
� 4k� 6l 5 vorgestellt, wenn man für � l� ge- k�
Abschätzung Δ � x x��� α log8 � x α � 5l� eignete Exponentenpaare auf der Basis des Graham–Algorithmus einsetzt. Bereits
bei Verwendung des “klassischen” Exponentenpaares � l� � � k� 1 � 30 26 erhält man
für α � 302� 247� 302 247� � 81788 ����� . 0�
Ein Algorithmus für multipel vollkommene Zahlen
HERBERT MÖLLER
Elsternweg 10, D-48329 Havixbeck
mollerh@math.uni-muenster.de
http://www.uni-muenster.de/math/u/mollerh/
Ist n eine natürliche Zahl und σ � die Summe der Teiler von n, so heißt n “mul-
n�
tipel vollkommen” (multiply perfect number), wenn σ � ein ganzzahliges Viel-
n�
faches von n darstellt. Im Laufe von rund 350 Jahren wurden mehrere hundert
solcher Zahlen gefunden. In einer unveröffentlichten Doktorarbeit hat S. Kurz
(Münster) 1997 einen effizienten Algorithmus entwickelt, der es erlaubt, zu jeder
Primzahl p alle multipel vollkommenen Zahlen zu berechnen, für die p der größte
Primfaktor ist. Diese Zahlen sind Produkte von Primzahlpotenzen qk mit q �
p
und k �
p � Durch mehrstufige Reduktion wird die exponentiell wachsende
2�
Anzahl der zu testenden Fälle so verkleinert, dass sogar mit einem PC alle 72
multipel vollkommenen Zahlen mit � p 1000 bestimmt werden konnten. In dem
Vortrag sollen die mathematischen Grundlagen und die Prinzipien des Algorithmus
beschrieben werden. Außerdem ergeben sich einige neue Vermutungen über
multipel vollkommene Zahlen.
Zur Nichtteilbarkeit von Ordnungen modulo u
HELMUT MÜLLER
Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg
Bundesstrasse 55, D-20146 Hamburg
mueller@math.uni-hamburg.de
Im Zusammenhang mit Verallgemeinerung des 3n � 1-Problems zeigten FRANCO
und POMERANCE in [1] folgendes Resultat
Satz 1. Bezeichnet man mit l � u� die Ordnung von 2 modulo u für ungerades u,
so besitzt für jede feste Zahl q die Menge der ungeraden Zahlen u mit q � l � u� die
asymptotische Dichte 0
Ein erster Versuch, die Aussage von Satz 1 zu quantifizieren, ist in [3] enthalten:
30�