Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

70 Zahlentheorie
where t is a large real variable. In his masterwork Disquisitiones Arithmeticae,
C.F. Gauß stated an approximate formula for A � t� . In this century I. M. Vinogradov
proved several upper bounds for the error term
E � t� : � A � t� � π
18 t3� 2 � 1
4 t
culminating in E � t��� t 2� 3� ε � Quite recently, Chamizo and Iwaniec improved this
classical upper bound to
E � t��� t 21� 32� ε �
where 21� 32 � 0� 65625. The main object of the present paper is to prove a twosided
Omega estimate for the error term E � t� .
For real t � ∞ we have
E � t� � � ��� t logt� �
Ziffernsysteme und Entropie
MARIO LAMBERGER
Institut für Mathematik, Technische Universität Graz
Steyrergasse 30/III, 8010 Graz
mlamb@finanz.math.tu-graz.ac.at
Ein klassischer Satz von Jessen und Wintner besagt, dass die Verteilungsfunktion
einer Zufallsvariable der Form Z � ∑n� 1 Xnβ� n entweder absolut stetig oder
singulär ist, wobei Xn � � 0� 1����������� β� � 1� gleichverteilte Zufallsvariablen sind.
Erdős bewies in diesem Zusammenhang, dass die Verteilung singulär ist, wenn
β � 1 eine Pisot-Zahl ist. In den 60er Jahren führte Garsia einen Entropie-Begriff
für unendliche Bernoulli-Faltungen ein, welcher sich ebenfalls dazu benützen
lässt, eine Aussage über die Singularität von obigen Verteilungen zu treffen. Im
Allgemeinen ist die Garsia-Entropie aber schwer zu berechnen. [1] und [2] konnten
dies für spezielle Fälle, indem sie die Mehrdeutigkeiten der β-Entwicklungen
kombinatorisch untersuchten. [1] benutzten dazu einen graphentheoretischen Ansatz,
wir möchten in diesem Vortrag die Methode von [2], welche auf Wortkombinatorik
aufgebaut ist, in einem allgemeineren Fall demonstrieren. In beiden
Fällen spielt ein durch den subtraktiven euklidischen Algorithmus definiertes Maß
eine entscheidende Rolle welches wir im Zusammenhang mit dem singulären
Minkowski-Maß ebenfalls weiter studieren.
[1] J.C.Alexander, D.B.Zagier. “The entropy of certain infinitely convolved Bernoulli
measures.” J. London. Math. Soc., 44:121-134, 1991
[2] P.J.Grabner, P.Kirschenhofer, R.F.Tichy. “Combinatorial and artihmetical
properties of digital expansions.”, Combinatorica, 2001