Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

146 Numerische Mathematik, Wissenschaftliches Rechnen
Schnelle Approximation auf Tensorprodukt-Strukturen
KARL–HEINZ BRAKHAGE
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen
Templergraben 55, 52056 Aachen
brakhage@igpm.rwth-aachen.de
http://www.igpm.rwth-aachen.de/˜brakhage
In vielen Bereichen mathematischer Modellierung und Simulation werden Tensorprodukte
verwendet. Insbesondere Tensorprodukt-Flächen, in der Regel Splines,
und in letzter Zeit auch Volumina sind von großer Bedeutung. Wählt man
einen derartigen Ansatz, so taucht oft das Problem der Interpolation bzw. Approximation
auf. Dabei entstehen normalerweise bandstrukturierte Koeffizientenmatrizen.
Die bei der Approximation üblicherweise benutzte least-squares-Methode
führt auf Tensorprodukte obiger Matrizen. Diese haben Block-Bandstruktur, sind
also immmer noch dünn besetzt. Bei der Lösung sowohl per Normalgleichungen
also auch per orthogonaler Transformationen werden die Bereiche innerhalb
der Bänder aber gefüllt. Eine geringfügige Änderung des least-squares-Ansatzes
ermöglicht es, orthogonale Transformationen basierend auf den Ausgangsmatrizen
zu realisieren. Schreibt man im Zweidimensionalen die rechte Seite als Matrix
statt Vektor, geht man von der Schur-Norm (entspricht der 2-Norm als Vektor)
zur 2-Norm der Matrix über, deren Äquivalenz bekannt ist. So kann sowohl
der Speicherbedarf als auch die Rechenzeit drastisch reduziert werden. Je nach
Komprimierungsrate (Anzahl der Meßungen zu Anzahl der Unbekannten) führen
verschiedene Strategien zur Durchführung der orthogonalen Transformationen zu
einer weiteren Zeitersparnis. Zahlreiche Beispiele belegen die Effizienz des Verfahrens.
Insbesondere kann man so auch Berechnungen für derartig komplexe
Aufgaben durchführen, die mit den herkömmlichen Methoden nicht möglich sind.
Additive Multigrid Theory
SUSANNE C. BRENNER
Department of Mathematics, University of South Carolina, Columbia, SC 29208
brenner@math.sc.edu
http://www.math.sc.edu/˜fem/brenner.html
The convergence of the V-cycle multigrid algorithm is usually handled by a multiplicative
theory where the iteration operator (matrix) is expressed as a product of
operators measuring the effect of the multigrid algorithm on different grid levels.
In this talk an additive convergence theory for the V-cycle algorithm will be presented.
This theory is effective for establishing the asymptotic behavior of the
contraction number of the V-cycle algorithm as the number of smoothing steps is
increased.
The following applications of the additive theory will be discussed: