Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...

74 Zahlentheorie
Satz 2. Für jede feste Primzahl q � 3 gilt für x � ∞
log 1�
x
� q � 1� x
�
x� Nq
�
∑u� � :
x
q� l � u�
1 �
x
log 1� q x �
Allerdings wies P. MOREE (vgl. [2]) darauf hin, daß es in der Literatur längst
schärfere und auch allgemeinere Ergebnisse in dieser Richtung gibt. Unter Benutzung
von Abschätzungen von K. WIERTELAK in [4] konnte er z.B. folgendes
zeigen:
Satz 3. Für jede feste Primzahl q � 3 gibt es eine positive Konstante cq, so daß
für x � ∞
�
x� � Nq cq
logq� x
� q2�
1� � 1 � Oq
x
�
� 5 loglogx�
��� logx
Bei all diesen Ergebnissen fällt auf, daß ausschließlich die Nichtteilbarkeit der
Ordnungen durch primes q behandelt wird, während doch Satz 1 das Verschwinden
zumindest der asymptotischen Dichten bei Nichtteilbarkeit durch beliebige
Zahlen q besagt.
In dem Vortrag soll angedeutet werden, wie man unter Verwendung weitergehender
Resultate von K. WIERTELAK zumindest für Primzahlpotenzen q � p n
analoge quantitative Abschätzungen erhalten kann:
Satz 4. Es seien q � 2 prim und n ��� fest gewählt. Dann gibt es ein α� ��� 0� 1� , so
daß für hinreichend großes x gilt
∑
u� x
qn� 1
u� l
� � c1xlog α� � 1 O� x xloglogx � � logx� α� � 2
� �
wobei c1 eine positive Konstante ist.
[1] Z. FRANCO, C. POMERANCE, On a Conjecture of Crandall Concerning the
qx � 1-Problem. Math. Comp. 64, 1333–1336 (1995)
[2] P. MOREE, Improvement of an estimate of H. Müller involving the order of
2 � mod u� . Arch. Math. 71, 197–200 (1998)
[3] H. MÜLLER, Eine Bemerkung über die Ordnungen von 2 � mod U� bei ungeradem
U. Arch. Math. 69, 217–220 (1997)
[4] K. WIERTELAK, On the density of some sets of primes IV. Acta Arith. 43,
177–190 (1984)
�