Redaktion: K. Sigmund, G. Greschonig (Univ. Wien, Strudlhofgasse ...
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Zahlentheorie 71<br />
Vollständige Lösung einer Familie von Thue-Gleichungen vom<br />
Grad 5<br />
GÜNTER LETTL<br />
(gemeinsam mit István Gaál)<br />
Institut für Mathematik, Karl-Franzens-<strong>Univ</strong>ersität<br />
8010 Graz, Heinrichstraße 36<br />
guenter.lettl@uni-graz.at<br />
http://www-ang.kfunigraz.ac.at/˜lettl<br />
Für t ��� besitzen die Thue-Gleichungen<br />
X 5 �<br />
�<br />
1� 2 4<br />
t � � 3<br />
X � Y � 4� 3 2<br />
2t 4t � X � Y<br />
� 4 3 � 2<br />
t � t � 3� 2 3<br />
2t 4t � X � Y<br />
� t 3 � t 2 � 5t � 3� XY 4 � Y 5 ��� 1<br />
�<br />
neben den trivialen Lösungen � �<br />
1� und � 1� 0� als einzige weitere Lösungen<br />
0�<br />
�<br />
nur noch � �<br />
1� und 1�<br />
� � �<br />
1� für den Fall t � ��� 1� 0� .<br />
2�<br />
�<br />
Wesentlich für dieses Ergebnis ist es, durch geschickte Transformation eine Linearform<br />
in zwei Logarithmen von algebraischen Zahlen zu erreichen, für welche<br />
wesentlich schärfere untere Schranken zur Verfügung stehen.<br />
[1] István Gaál & Günter Lettl: “A parametric family of quintic Thue equations<br />
II”, Monatsh. Math. 131 (2000), 29-35.<br />
Diskriminanten-Vielfachheiten von p-Ringklassenkörpern über<br />
quadratischen Zahlkörpern mit p-Klassenrang r � 2<br />
DANIEL MAYER<br />
Naglergasse 53, A-8010 Graz<br />
danielmayer@algebra.at<br />
http://www.algebra.at<br />
Erklärungen: Wir nehmen an, f � p e q1 ����� qt sei ein p-zulässiger Führer eines<br />
quadratischen Zahlkörpers K mit modifiziertem � p-Klassenrang σ 2. Der p-<br />
Defekt von f bezüglich K sei δ � �<br />
f 2. Mit S bezeichnen wir einen Unterraum<br />
�<br />
der Kodimension 2 des Fp-Vektorraumes V der nicht-trivialen p-ten Idealpotenzzahlen<br />
von K, der im Ringraum Vf modulo f enthalten ist, H1��������� Hp� und mit 1<br />
die � p 1 Hyperebenen von V , die S umfassen. Für jeden Index µ � p � 1 1���������<br />
sei ein Positionszähler definiert durch aµ � # � 1 �<br />
Hµ� , wobei τ � � t<br />
�<br />
im Fall e<br />
τ Vqi<br />
� 0 und τ � � �<br />
qt�<br />
t 1 im Fall e 1 die Anzahl der Primteiler des Führers<br />
f bedeutet und wobei wir formal 1 � pe � setzen, falls e 1 ist. Ferner er-<br />
klären wir einen Indikator des irregulären Falles als ω � 1, falls e � 2, p � � � � � �<br />
�<br />
mod9�<br />
3,<br />
3 , und sonst ω 0. u # 1 i �<br />
� � � τ Vqi V sei die Anzahl der<br />
freien und v � τ � u die Anzahl der restriktiven Führerprimteiler.<br />
dK �<br />
i �
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